概率论与数理统计期末复习指南

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第一章 随机事件与概率

一、内容提要

1.事件的关系与运算 （1）A包含B:A?B;

（2）A、B至少发生一个:A?B或A?B（称为事件的和） 推广:A1,?An至少发生一个:A1?A2???An; （3）A、B同时发生:A?B或AB（称为事件的积） 推广:A1,?An同时发生:A1?A2???An;

（4）A发生,B不发生:A?B或 A?B或AB（称为事件的差） （5）A不发生:A（称为A的逆事件或对立事件）; （6）A 、B互不相容（或互斥）:AB??. 2.一些重要概率公式 （1）P(A)?1?P(A);

（2）加法公式:P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB);

推广:P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(ABC); （3）减法公式:P(A?B)?P(A)?P(AB);

（4）条件概率:P(BA)?P(AB)（表示A发生的条件下,B发生的概率）; P(A)（5）乘法公式:P(AB)?P(A)?P(BA);

（6）全概率公式:设A1,A2,?,An 是一互斥完备事件组,P(Ai)?0,i?1,2,?,n , B是任一事件,则有 P(B)??P(AiP)B(A|i,该式称为全概率公式．)i?1n（7）贝叶斯公式:设A1,A2,?,An 是一互斥完备事件组,P(Ai)?0,i?1,2,?,n , B是任一事件,P(B)?0,则

P(Ai|B)?P(Ai)P(B|Ai)?P(A)P(B|A)jjj?1n,i?1,2,?,n.

3.事件的独立性

若A 、B相互独立,则P(AB)?P(A)?P(B).

推广:A1,A2,?,An相互独立,则P(A1A2?An)?P(A1)P(A2)?P(An).

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4.二项概率公式

事件A在每次试验中发生的概率为p,0?p?1,不发生的概率为q?1?p,则在n重贝努里试验中事件A恰好发生k次的概率为

kkn?kP,k?0,1,2,?,n． n(k)?Cnpq特别地,P(n重贝努里试验中事件A至少发生1次)?1?(1?p)n． 二、典型例题

【例1】 设A,B,C表示三事件,用A,B,C的运算关系表示下列各事件: (1)A发生,B与C不发生. ABC (2)A与B都发生,而C不发生. ABC (3)A,B,C中至少有一个发生. A?B?C (4)A,B,C都发生. ABC (5)A,B,C都不发生. ABC

(6)A,B,C中不多于一个发生. ABC?ABC?ABC?ABC 或AB?AC?BC (7)A,B,C中不多于两个发生. ABC或A?B?C

(8)A,B,C中至少有两个发生. ABC?ABC?ABC?ABC 或AB?AC?BC

【例2】 设A,B为随机事件,且P(A)?0.6,P(B?A)?0.2,当A与B相互独立时,求P(B),当A与B互斥时,求

P(B).

【解】A与B相互独立时,P(B)?0.5,当A与B互斥时,P(B)?0.2.

【例3】 设A,B为随机事件,P(A)?0.5,P(B)?0.6,P(BA)?0.4,则求P(AB),P(AB),P(A?B). 【解】P(AB)?P(A)P(BA)?0.5?0.4?0.2;

P(AB)?P(B)?P(AB)?0.6?0.2?0.4;

P(A?B)?P(A)?P(B)?P(AB)?0.5?0.6?0.4?0.7.

【例4】 某球员进行投篮训练,设各次投篮是否进篮筐相互独立,且各次进篮筐概率相同.已知该运动员3次投篮时至

少投中一次的概率为0.875,则其投篮命中率为多少?5次投篮至少投中2次的概率为多少?

3【解】设投篮命中率为p,则1?(1?p)?0.875,p?0.5,

5次投篮至少投中2次的概率为:

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00111?C5p(1?p)5?C5p(1?p)4?1?0.55?5?0.5?0.54?0.8125.

【例5】 设三个事件A,B,C相互独立,且ABC??,P(A)?P(B)?P(C)?1, 2P(A?B?C)?9,则求P(A). 16【解】P(A?B?C)?P(A)?P(B)?P(C)?P(AB)?P(AC)?P(ABC)

?3P(A)?3P2(A)?0?P(A)?131,(舍去),所以P(A)?. 4449, 16【例6】 从有5件次品,95件正品的100件产品中不放回地抽取3件,求下列事件的概率:(1)三件中恰好有2件次品;(2)第三件才抽到次品.

【解】设Ai?{第i件抽到次品 A?{三件中恰好有2件次品}，}，i=1，2，3，B?{第三件才抽到次品},则

5?4?95CC2!(1)P(A)???0.005875. 3100?99?98C1003!25195(2)P(B)?P(A1A2A3)?P(A1)P(A2A1)P(A3A1A2)

?95945893????0.046021. 100999819404【例7】 两个盒子装有同型号的球,第一个盒子装有5个红球,4个白球;第二个盒子装有4个红球,5个白球.先从第一个盒子中任取两个球放入第二个盒子,然后再从第二个盒子中任取一球.求从第二个盒子中取到白球的概率. 【解】设

由全概率公式,得 Ai?{从第一个盒子中取到i个红球}，i?0,1,2; B?{从第二个盒子中取到白球}，P(B)?P(A0)P(BA0)?P(A1)P(BA1)?P(A2)P(BA2)

112C46C52517565553C47C5. ?2??2??2????????C911C911C911611911181199【例8】 将两信息分别编码为A和B传递出去,接收站收到时,A被误作B的概率为0.02,而B被误作A的概率为0.01.信息A与B传送的频繁程度为2:1,若接收站收到的信息为A,问原发信息是A的概率是多少? 【解】A},A2?{原发信息是B}, 1?{原发信息是AB1?{收到的信息是A},B2?{收到的信息是B},则由题意

21P(A1)?,P(A2)?,

33P(B2A1)?0.02,P(B1A1)?0.98,

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P(B1A2)?0.01,P(B2A2)?0.99,

由贝叶斯公式可知,

2?0.98P(A1)?P(B1A1)P(A1B1)1963P(A1B1)????. 21P(B1)P(A1)?P(B1A1)?P(A2)?P(B1A2)?0.98??0.0119733【例9】 有两种花籽,发芽率分别为0.8,0.9,从中各取一颗,设各花籽是否发芽相互独立,求（1）这两颗花籽都能发芽

的概率.（2）至少有一颗能发芽的概率.（3）恰好有一颗能发芽的概率. 【解】用A,B分别表示2颗花籽能发芽,其中P(A)?0.8,P(B)=0.9, (1)P(AB)?P(A)?P(B)?0.72,

(2)P(A?B)?1?P(AB)?1?0.2?0.1?0.98, (3)P(AB)?P(AB)?0.8?0.1?0.2?0.9?0.26. 【例10】

设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件,且P(Ak)?pk(1?k?n),求下列事件的概率:(1)n个事件全

不发生; (2)n个事件中至少有一个发生; (3)n个事件不全发生. 【解】 (1)P(A1A2?An)??(1?p);

kk?1n(2)P(A1?A2???An)?1?P(n?A)?1??(1?p);

kkk?1k?1nn(3)1?P(A1A2?An)?1??p.

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