分块矩阵的性质及其应用

吉首大学学年论文

分块矩阵的性质及其应用

依宇天

（吉首大学数学与计算机科学学院，湖南 吉首 416000）

摘要：矩阵分块是解决矩阵问题的常用方法,矩阵分块适当可为解决问题带来极大方便。 关键词：分块矩阵、矩阵的分块、矩阵的计算、证明、应用

Block matrix and its application

Yi Yu Tian

(College of mathematics and computer science, jishou university,jishou hunan,416000)

Abstract: Block matrix is a matrix to solve problem of the commonly used methods,

block matrix suitable for solve the problem bring great convenience.

Keywords: Block matrix, block matrix, matrix calculation, proof, application

引言：本文详细、全面论述证明了矩阵的分块在《高等代数》中的应用。包括用分块矩阵证明矩阵乘积的秩的定理问题，用分块矩阵求逆矩阵问题，用分块矩阵求矩阵的行列式问题，用分块矩阵求矩阵的秩的问题，利用分块矩阵证明一个矩阵是零矩阵的问题。

1.分块矩阵

1.1分块矩阵的定义

令A为m?n矩阵，把A分成如下形式

?A11?AA??21????As1A12?A1t?A22?A2t?? ????As2?Ast?其中Aij（i=1、2…S，j=1、2…t）为mi?nj矩阵，且m1+m2+…+ms=m，n1+n2+…+nt=n，称其中的每一个小矩阵为A的一个分块。

1.2分块矩阵的计算 令

?A11?A1t??， B?A????????As1?Ast??这里A、B的行列数相同，且分法一致，那么

?B11?B1t????

?????Bs1?Bst???A11?B11?A1t?B1t??aA11?aA1t??， aA????.

A?B????????????As1?Bs1?Ast?Bst???aAs1?aAst??分块矩阵乘法运算复杂一些，但只要做到A的列的分法与B的行的分发一致，即设

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?A11?A1s??B11?B1t????? A????B??，???????Bs1?Bst???Ar1?Ars??那么

?Ci1?C1t??。

A?B????????Cr1?Crt??注意：只有在通常的乘法运算A与B可乘的前提下，分块乘法可进行。

1.3分块矩阵的性质

在行列式计算中，我们经常用到下面三条性质： （一）：若行列式中某行有公因子，则可提到行列式外面；

（二）把行列式中的某行乘上某一个非零数加到另一行中，其值不变； （三）把行列式中的某两行互换位置，其值不变。

推论：设A、B为n阶行列式，则有：A、B的乘积也为n阶行列式。 证明：作一个2n阶行列式

?AO?D???

OB???C11?C21由拉普拉斯展开定理得D??????Cn1C12C22?Cn2?C1n??C2n??（n?1?n?2??2n）??(?1)(1?2???n）

????Cnn?-10?00-1?0?C，定理得证。

???00?-1

例1：计算n阶行列式

x1?mx1?x11 解：原式?(x2?xnxn?。

x2?m???x2x2?xnxn?

?xn?m?xi?m)i?1n1x2?m???1x2?xn?m2

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1x2?xnn0?m?0 ?(?xi?m)???i?100??m?(?xi?m)(?m)n?1

i?1n

推论：行列式乘积公式AB?AB。 证明：作

?EA??A0??0??0E?????EB???????????E设A、B为n?n矩阵，作

AB?? (1) B???EnPij???0?Eij??，i、j=1、2…n， En??这里，Eij为n?n矩阵，除了第i行，第j列元素为aij外，其他元素皆为零，则由初等矩阵与初等变换的关系，易得右端为

?EnP11P12?P1n?Pn1?Pnn??0?0??En????En???0A?? ?En?又由Pij所对应的初等变换是某行加上另外一行的倍它不改变行列式的值，故

AO?EA??AO??AO????????P?P??AB 11nn??OE??-EB???????-EB?-EB但（1）的右端可经过n个两列变换变成

?ABO???B-E?? ??故

OAB?-1?nAB-E?AB ? -EB这就证明了AB?AB。

结论：两个方阵的乘积的行列式等于这两个方阵的行列式的乘积。

2.1分块矩阵在矩阵的秩的相关证明中的应用

定理1：设A是数域P上n?m矩阵，B是数域P上m?s矩阵，

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于是 秩(A) ≤min[秩(A)，秩(B)] （1） 即乘积的秩不超过各因子的秩。 证明：为了证明（1），只需证秩(AB)≤秩(A)，同时秩(AB) ≤秩(B)即可。

?a11?a21设A?????an1a12a22an2a1m??b11?ba2m??,B??21????anm??bm1b12b22bm2b1n?b2n??

??bmn?令B1,B2…Bm表示B的行向量，C1,C2…Cn表示AB的行向量。

由计算可知，都等于Ci的第j个分量和ai1B1?ai2B2???aimBm的第j个分量，

?ak?1mikkjb，

因而Ci?ai1b1?ai2b2???aimbm，（i=1、2…n），即矩阵AB的行向量组C1,C2…Cn可经过B的秩，即秩(AB) ≤秩(B)。

同理可得秩(AB)≤秩(A)，定理得证。

3.1分块矩阵在求逆矩阵方面的应用 例2：设

?0?0?X????0??ana1000-100?00???， ?0an?1?00??其中aij?0，（i=1、2…n）。求X。 解：

?0?0??AE??????0??ana1?00?0??00?00?0an?10?0?an?????a1?an?110?00?01?00??ri???ri?1???????????i?n?1,n?2,?,1?00?10?00?01??1?1?r1?1an???????1?ri?a?i?2,?,n??i?1?1?0 4