全国2008年10月高等教育自学考试线性代数（经管类）试题

全国2008年10月高等教育自学考试

线性代数(经管类)试题 课程代码：04184

说明:在本卷中, AT表示矩阵A的转置矩阵，A*表示矩阵A的伴随矩阵，E是单位矩阵，|A|表示方阵A的行列式，r(A)

表示矩阵A的秩.

一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．设A为3阶方阵，且?A．-9 C．-1

13A?13，则|A|?（ ）

B．-3 D．9

2．设A、B为n阶方阵，满足A2=B2，则必有（ ） A．A=B C．|A|=|B|

13．已知矩阵A=??1A．??1C．??0??1??0?1???01??1???11?B．A= -B D．|A|2=|B|2

10?，B=???，则AB-BA=（ ）

1B．??1??1??0???2

?0?0

?0

00?D．???

4．设A是2阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是（ ）

00?A．??00?

??11?C．???

?00?1B．???0?00?0??1?

11?D．???

5．设向量α1?(a1,b1,c1),α2?(a2,b2,c2),β1?(a1,b1,c1,d1),β2?(a2,b2,c2,d2)，下列命题中正确的是（

）

A．若α1,α2线性相关，则必有β1，β2线性相关 B．若α1,α2线性无关，则必有β1，β2线性无关 C．若β1，β2线性相关，则必有α1,α2线性无关 D．若β1，β2线性无关，则必有α1,α2线性相关

?1??2?6．已知?2?,?3?是齐次线性方程组Ax=0的两个解，则矩阵A可为（ ）

??1??1?????A．（5，-3，-1）

1C．??2?2?1?3?7??5B．???2?311? 1??

?1D．??1??5?223?1??2? 1??════════════════════════════════════════════════════════════════════

7．设m×n矩阵A的秩r(A)=n-3(n>3)，α，β，γ是齐次线性方程组Ax=0的三个线性无关的解向量，则方程组Ax=0的基础解系为（ ） A．α，β，α+β C．α-β，β-γ，γ-α 8．已知矩阵A与对角矩阵D=?0?0??10?10B．β，γ，γ-β D．α，α+β，α+β+γ

0?2

0?相似，则A=（ ） ?1??A．A C．E

?09．设矩阵A=?0?1?010B．D D．-E

1?0?，则A的特征值为（ ） 0??A．1，1，0 C．1，1，1

2

B．-1，1，1 D．1，-1，-1

10．设A为n(n≥2)阶矩阵，且A=E，则必有（ ） A．A的行列式等于1 C．A的秩等于n

二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

a2123?110?01B．A的逆矩阵等于E D．A的特征值均为1

11．已知行列式，则数a =__________.

12．设方程组??x1?2x2?0?2x1?kx2?001有非零解，则数k = __________.

0，B=??452?7??213．设矩阵A=????11??3???3，则ATB= __________.

14．已知向量组α1?1??0????,α0?2???12?0??1????,α5?0???3????t??2?1?的秩为2，则数t= __________. ?2?4??15．设向量α?(2,?1,,1),则α的长度为 __________.

216．设向量组α1=（1，2，3），α2=（4，5，6），α3=（3，3，3）与向量组β1，β2，β3等价，则向量组β1，β2，

β3的秩为 __________.

17．已知3阶矩阵A的3个特征值为1，2，3，则|A*|= __________.

18．设3阶实对称矩阵A的特征值为λ1=λ2=3，λ3=0，则r(A)= __________.

?119．矩阵A=?2?4?22?14??1?对应的二次型f = __________. 3??════════════════════════════════════════════════════════════════════

?20?，则二次型xTAx的规范形是__________. 20．设矩阵A=????01?

三、计算题（本大题共6小题，每小题9分，共54分）

113120?1231?10420?50?1??21．计算行列式D=的值.

122．已知A=????14?2??2，B=????13，C=???01??1??，矩阵X满足AXB=C，求解X.

23．求向量β=（3，-1，2）T在基α1=（1，1，2）T，α2=（-1，3，1）T，α3=（1，1，1）T下的坐标，并将β用此基

线性表示.

24．设向量组α1,α2,α3线性无关，令β1=-α1+α3，β2=2α2-2α3，β3=2α1-5α2+3α3.试确定向量组β1，β2，β

3的线性相关性.

?x1?x2??x3??2?25．已知线性方程组?x1??x2?x3??2，

??x?x?x???323?1（1）讨论λ为何值时，方程组无解、有惟一解、有无穷多个解.

（2）在方程组有无穷多个解时，求出方程组的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解系表示）.

?111?26．已知矩阵A=?111?，求正交矩阵P和对角矩阵Λ，使P-1AP=Λ.

?111???

四、证明题（本题6分）

27．设η为非齐次线性方程组Ax=b的一个解，ξ1，ξ2，…，ξr是其导出组Ax=0的一个基础解系.证明η，ξ1，

ξ2，…，ξr线性无关.

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