2020届高考数学一轮复习第二篇函数、导数及其应用第10节导数的概念与计算课时作业理(含解析)新人教A版

第10节 导数的概念与计算

课时作业

基础对点练(时间：30分钟)

1．已知曲线y＝ln x的切线过原点，则此切线的斜率为( ) 11

(A)e (B)－e (C) (D)－

ee

C 解析：y＝ln x的定义域为(0，＋∞)，设切点为(x0，y0)，则k＝f′(x0)，∴切线1

方程为y－y0＝(x－x0)，又切线过点(0,0)，代入切线方程得x0＝e，y0＝1，∴k＝f′(x0)

x0

11＝＝. x0e

13

2．设函数f(x)＝ax＋bx(a≠0)，若f(3)＝3f′(x0)，则x0等于( )

3(A)±1 (B)2 (C)±3 (D)2

C 解析：由已知得f′(x)＝ax＋b.又f(3)＝3f′(x0)，则有9a＋3b＝3ax0＋3b，所以

2

2

x20＝3，即x0＝±3.

3．设曲线y＝

x＋1

在点(3,2)处的切线与直线ax＋y＋3＝0垂直，则a等于( ) x－1

11

(A)2 (B)－2 (C) (D)－

22B 解析：因为y′＝

－2

x－1

2

1

，所以曲线在(3,2)处的切线斜率为k＝－，又因为直

2

?1?线ax＋y＋3＝0的斜率为－a，所以－a·?－?＝－1，解得a＝－2.故选B. ?2?

4．已知函数f(x)＝xn＋1

(x∈N)的图象与直线x＝1交于点P，若图象在点P处的切线与

*

x轴交点的横坐标为xn，则log2016x1＋log2016x2＋…＋log2016x2015的值为( )

(A)－1

(C)－log20162015 答案：A

5．(2019泰安期末)若函数f(x)＝x＋x－ax－4在区间(－1,1)内恰有一个极值点，则实数的取值范围为( )

(A)(1,5) (C)(1,5]

2

3

2

(B)1－log20162015 (D)1

(B)[1,5)

(D)(－∞，1)∪(5，＋∞)

B 解析：由题意，f′(x)＝3x＋2x－a， ∵f(x)在区间(－1,1)内恰有一个极值点，

∴f′(x)＝3x＋2x－a＝0在区间(－1,1)内有唯一解．

1

2

∴f′(－1)f′(1)＝(1－a)(5－a)＜0， 解得1＜a＜5，

又当a＝1时是，f′(x)＝3x＋2x－1＝(x＋1)(3x－1)在区间(－1,1)内恰有一个解， 当a＝5时，函数f′(x)＝3x＋2x－5＝(x－1)(3x＋5)在区间(－1,1)内没有解． 综上实数的取值范围为[1,5)．故选B.

12?π?6．已知f(x)＝x＋sin?＋x?，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(x)的图象是( ) 4?2?

22

121?π?12

A 解析：因为f(x)＝x＋sin?＋x?＝x＋cos x，所以f′(x)＝x－sin x为奇函

42?2?4

?π?数，且f′??＜0.

?6?

故选A.

7．设a为实数，函数f(x)＝x＋ax＋(a－3)x的导函数为f′(x)，且f′(x)是偶函数，则曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为( )

(A)9x－y－16＝0 (C)6x－y－12＝0

2

3

2

(B)9x＋y－16＝0 (D)6x＋y－12＝0

3

A 解析：由题意可得f′(x)＝3x＋2ax＋a－3是偶函数，则a＝0，所以f(x)＝x－3x，

f′(x)＝3x2－3，则f(2)＝2，f′(2)＝9，则所求切线方程为y－2＝9(x－2)，即为9x－y－16＝0，故选A.

8．(2018唐山模拟)曲线y＝aln x(a＞0)在x＝1处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积为4，则a＝________.

解析：∵y＝aln x，∴y′＝，∴在x＝1处的切线的斜率k＝a，而f(1)＝aln 1＝0，

ax 2

故切点为(1,0)，∴切线方程为y＝a(x－1)，

1

∴×a×1＝4，∴a＝8. 2答案：8

9．(2018河南六市一模)已知函数f(x)＝x＋＋b(x≠0)在点(1，f(1))处的切线方程为

axy＝2x＋5，则a－b＝________.

解析：∵f′(x)＝1－2，∴2＝f′(1)＝1－a，∴a＝－1， ∵f(1)＝7＝1＋a＋b，∴b＝7， ∴a－b＝－8. 答案：－8

132

10．已知点M是曲线y＝x－2x＋3x＋1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：

3(1)斜率最小的切线方程；

(2)切线l的倾斜角α的取值范围． 解：(1)y′＝x－4x＋3＝(x－2)－1≥－1， 5

所以当x＝2时，y′＝－1，y＝，

35

所以斜率最小的切线过2，，斜率为－1，

311

所以切线方程为x＋y－＝0.

3

(2)由(1)得k≥－1，所以tan α≥－1， π3π

所以α∈0，∪，π.

24

能力提升练(时间：20分钟)

11．若函数f(x)＝x＋ax＋bx＋c图象上点A(2,1)处的切线方程为2x－y＋a＝0，则a＋b＋c＝( )

111

(A)－ (B)－ (C)0 (D)

322

C 解析：因为A(2,1)在2x－y＋a＝0上，所以4－1＋a＝0，a＝－3，又f′(x)＝3x3

2

2

3

2

2

2

ax＋2ax＋b，f′(2)＝2，所以12＋4a＋b＝2，得b＝2.将A(2,1)代入f(x)＝x－3x＋2x＋c中，得8－12＋4＋c＝1，得c＝1，所以a＋b＋c＝0，故选C.

12．已知函数f(x)的导函数在(a，b)上的图象关于直线x＝在[a，b]上的图象可能是( )

3

a＋b2

对称，则函数y＝f(x)

D 解析：因为函数f(x)的导函数的图像关于直线x＝关于点(

f(

a＋b2

对称，所以函数f(x)的图像

a＋b22

，

))中心对称，只有D选项符合，故选D.

a＋b13．(2018江西省宜春中学、新余一中联考)设函数y＝f(x)在其图象上任意一点(x0，

x－1

y0)处的切线方程为y－y0＝(3x2≥0的解集为0－6x0)(x－x0)，且f(3)＝0，则不等式

fx________．

解析：因为函数y＝f(x)在其图像上任意一点(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(3x0－6x0)(x－x0)，所以f′(x0)＝3x0－6x0，所以f′(x)＝3x－6x，设f(x)＝x－3x＋c，又f(3)＝0，所以3－3×3＋c＝0，解得c＝0，所以f(x)＝x－3x，所以≥0，解得0＜x≤1或x＜0或x＞3.

答案：(－∞，0)∪(0,1]∪(3，＋∞)

3

2

3

2

2

2

3

2

2

x－1x－1

≥0可化为3

fxx－3x2

14. 定义在R上的函数f(x)满足f(4)＝1，f′(x)为f(x)的导函数，已知y＝f′(x)的图象如图所示，若两个正数a，b满足f(2a＋b)<1，则

b＋1

的取值范围是________． a＋1

4