刘竞琰数论(3)约数，倍数，完全平方数

学习改变命运

【例5】（难度等级 ※※※）

10个非零不同自然数的和是1001，则它们的最大公约数的最大值是多少？

【例6】（难度等级 ※※※）

A,B两数都仅含有质因数3和5,它们的最大公约数是75.已知数A有12个约数，数B有10个约数，那么A,B两数的和等于多少?

【拓展】（难度等级 ※※※）

设A共有9个不同的约数，B共有6个不同的约数，C共有8个不同的约数，这三个数中的任何两个都不整除，则这三个数之积的最小值是多少？

【例7】（难度等级 ※※※）

已知自然数A、B满足以下2个性质：

（1）A、B不互质 （2）A、B的最大公约数与最小公倍数之和为35。 那么A+B的最小值是多少？

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【拓展】（难度等级 ※※※※）

有两个自然数,它们的和等于297,它们的最大公约数与最小公倍数之和等于693.这两个自然数的差等于多少?

【例8】（难度等级 ※※※）

已知甲数的12倍与乙数的15倍的最大公约数是1440，那么甲数和乙数的最大公约数最小可以是多少？

【拓展】（难度等级 ※※※※）

a>b>c是3个整数.a,b,c的最大公约数是15；a,b的最大公约数是75；a,b的最小公倍数是450；b,c的最小公倍数是1050.那么c是多少?

【拓展】（难度等级 ※※※※※）

a、b、c是三个互不相等的非0自然数，他们的和是1155，则他们最大公约数的最大值是多少？最小公倍数的最小值是多少？最小公倍数的最大值是多少？

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【典型约数倍数数论应用题】

【例1】（难度等级 ※※※）

3条圆形跑道,圆心都在操场中的旗杆处,甲、乙、内3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步.开始时,3人都在旗杆的正东方向,里圈跑道长

11千米,中圈跑道长千米,外圈跑道长5431千米.甲每小时跑3千米,乙每小时跑4千米,丙每小时跑5千米.问他们同时出发,几小时82后,3人第一次同时回到出发点?

【例2】（难度等级 ※※※）

有甲、乙、丙3人,甲每分钟行走120米,乙每分钟行走100米,丙每分钟行走70米.如果3个人同时同向,从同地出发,沿周长是300米的圆形跑道行走,那么多少分钟之后,3人又可以相聚在跑道上同一处?

【例3】（难度等级 ※※※）

在一根长木棍上，有三种刻度线，第一种刻度线将木棍分成10等份，第二种刻度线把木棍分成12等份，第三种刻度线把木棍分成15等份，如果沿每条刻度线把木棍锯断，木棍总共被锯成多少段？

【例4】（难度等级 ※※※）

某校师生为贫困地区捐款1995元．这个学校共有35名教师，14个教学班．各班学生人数相同且多于30人不超过45人．如果平均每人捐款的钱数是整数，那么平均每人捐款多少元?

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【完全平方数】

【例1】（难度等级 ※）

写出360到630的自然数中有奇数个约数的数．

【拓展】（难度等级 ※※※）

两个数乘积为2800，而且已知其中一个数的约数比另一个数的约数个数多1.那么这两个数分别是多少？

【例2】（难度等级 ※※）

一个正整数加上32和132后都等于完全平方数，求这个正整数是多少？

【拓展】（难度等级 ※※※）

有2个两位数，它们的差是14，将它们分别平方，得到的两个平方数末两位数相同，那么这两个两位数是多少？写出所有可能情况。