2017-2018学年高中数学第三章圆锥曲线与方程3.3双曲线教学案北师大版选修2-1

§3 双_曲_线

3．1 双曲线及其标准方程

[对应学生用书P55]

双曲线的定义 2013年11月30日，中国海军第16批护航编队“盐城”导弹护卫舰，“洛阳”号导弹护卫舰在亚丁湾东部海域商船集结点附近正式会合，共同护航，某时，“洛阳”舰哨兵监听到附近海域有快艇的马达声，与“洛阳”舰哨兵相距1 600 m的“盐城”舰，3秒后也监听到了马达声(声速340 m/s)，用A、B分别表示“洛阳”舰和“盐城”舰所在的位置，点M表示快艇的位置．

问题1：快艇距我两护卫舰的距离之差是多少？ 提示：|MB|－|MA|＝340×3＝1 020(m)．

问题2：我两护卫舰为辨明快艇意图，保持不动，持续监测，发现快艇到我两舰距离之差保持不变，快艇运动有何特点？

提示：始终满足|MB|－|MA|＝1 020.

双曲线的定义 定义 平面内到两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数(大于零且小于|F1F2|)的点的集合叫作双曲线 焦点 定点F1，F2叫作双曲线的焦点 焦距 两个焦点之间的距离叫作双曲线的焦距 集合语言 P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a,0＜2a＜|F1F2|} 双曲线的标准方程 上述问题中，设|AB|＝1 600＝2c, ||MA|－|MB||＝1 020＝2a.

问题1：以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则点M的轨迹方程是什么？

提示：(c－a)x－ay＝a(c－a)．

问题2：若以AB所在直线为y轴，AB的垂直平分线为x轴，则点M的轨迹方程为什么？ 提示：(c－a)y－ax＝a(c－a)．

双曲线的标准方程 焦点位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 2

2

2

22

2

2

2

2

2

2

22

2

2

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图像 标准方程 焦点坐标 x2y2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2F1(－c,0)；F2(c,0) c2＝a2＋b2 y2x2－＝1(a＞0，b＞0) a2b2F1(0，－c)；F2(0，c) a，b，c的关系 1．双曲线定义中||PF1|－|PF2||＝2a(0<2a<|F1F2|)，不要漏掉绝对值符号．当2a＝|F1F2|时，表示两条射线．

2．在双曲线的标准方程中，a>b不一定成立．c＝a＋b与椭圆中的a＝b＋c不同．

[对应学生用书P55]

2

2

2

2

2

2

双曲线的标准方程 [例1] 根据下列条件求双曲线的标准方程． (1)求以椭圆＋＝1的短轴的两个端点为焦点，且过点A(4，－5)的双曲线的标准方

169程；

(2)已知双曲线通过M(1,1)，N(－2,5)两点，求双曲线的标准方程．

x2y2

[思路点拨] 用待定系数法，根据双曲线焦点的位置设方程，根据条件确定参数．当已知双曲线的两个焦点和双曲线上某一点，也可利用双曲线的定义求解．

[精解详析] (1)法一：(待定系数法)

由题意知双曲线的两焦点F1(0，－3)，F2(0,3)．

y2x2

设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，

ab将点A(4，－5)代入双曲线方程得 25

a2

1622

－2＝1，又a＋b＝9，

b解得a＝5，b＝4.

∴双曲线的标准方程为－＝1.

54法二：(定义法)

由题意知双曲线的两个焦点分别为F1(0，－3)，F2(0,3)且A(4，－5)在双曲线上， 则2a＝||AF1|－|AF2||＝|20－80|＝25， ∴a＝5，∴b＝c－a＝9－5＝4. 即双曲线的标准方程为－＝1.

54(2)法一：若焦点在x轴上，

2

2

2

22

y2x2

y2x2

x2y2

设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)．

ab因为M(1,1)，N(－2,5)在双曲线上， 11??a－b＝1，所以?－25

－＝1，??ab2

2

2

22

2

7??a2＝，

8解得???b2＝7.

若焦点在y轴上，

y2x2

设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)．

ab??ab同理有?5

??a－

222

1

1

－2＝1，

－2

2

b2

＝1，

a＝－7，??解得?27

b＝－?8?

2

(不合题意，舍去)．

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

778

法二：设所求双曲线的方程为mx＋ny＝1(mn<0)． 将点M(1,1)，N(－2,5)代入上述方程，得

2

2

x2y2

??m＋n＝1，???4m＋25n＝1，

8

m＝，??7解得?1

n＝－??7.

所以所求双曲线的标准方程为－＝1.

778[一点通] 求双曲线标准方程的常用方法：

(1)定义法：若由题设条件能够判断出动点的轨迹满足双曲线的定义，则可根据双曲线的定义确定方程．

(2)用待定系数法，具体步骤如下：

x2y2

3

1．已知椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为10，若曲线C2上的点到椭圆C1

5的两个焦点的差的绝对值等于4，则曲线C2的标准方程为( )

A.－＝1 45C.2－2＝1 54

x2y2x2y2

B.－＝1 54D.2－2＝1 45

x2y2x2y2