高中数学必做100题

4.已知空间四边形ABCD中，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是BC、CD上的点，且.

求证：（1）E、F、G、H四点共面；（2）三条直线EF、GH、AC交于一点. 参考答案：证明：（1） 在△ABD和△CBD中，

∵ E、H分别是AB和CD的中点， ∴ EHBD…………….3分

又 ∵

∴ EH∥FG. 分

， ∴ FGBD.

所以，E、F、G、H四点共面.--------------------------------------------7分

（2）由（1）可知，EH∥FG ，且EHFG，即直线EF，GH是梯形的两腰， 所以它们的延长线必相交于一点P. ……………………………9分

∵ AC是EF和GH分别所在平面ABC和平面ADC的交线，而点P是上述两平面的公共点，

∴ 由公理3知PAC. ………………………11分 所以，三条直线EF、GH、AC交于一点……..12分

5.如图，∥∥，直线与分别交,,于点和点，求证：

.

参考答案：证明：连结

，交

于

，连

…………3分

则由得……………………7分

由得………………..10分

所以………………………..12分

6.如图，在正方体ABCD-A1 B1 C1 D1 中. （◎P79 B2）

求证：（1）B1 D⊥平面A1 C1 B； （2）B1 D与平面A1 C1 B的交点设为H，则点H是△A1 C1 B的垂心.

参考答案：（1）连所以 同理可证

，

，面

，又，因此

面。

，

，所以B1 D⊥平面A1 C1 B。……6分

（2）连 又也是

，由，因此点

为是

，得 的外心。 的中心，

为正三角形，所以

的重心。………….…………………. 12分

中，

，

7.（06年北京卷）如图，在底面为平行四边形的四棱锥

平面（1） 求证：的大小.

，且

，点是

； （2）求证：

的中点. 平面

；（3）求二面角

（2）

参考答案：（1）∵ PA⊥平面 ABCD， ∴AB 是 PB 在平面 ABCD 上的射影. 又∵AB⊥AC，AC

平面ABCD， ∴AC⊥PB. ……4分

（2）连接BD，与 AC 相交于 O，连接 EO. ∵ABCD 是平行四边形， ∴O 是 BD 的中点 又 E 是 PD 的中点，∴EO∥PB. 又 PB平面 AEC，EO平面 AEC，

∴PB∥平面 AEC……………………………..8分

（3）

取AD的中点F，所以

的中点，连，则

与

对应相等。

是所求二面角的平面角，且

易知由图可知，为所求。……………12分

8.已知

，

，

，求点D的坐标，使直线CD⊥AB，且CB∥AD．

参考答案：设点D的坐标为（x,y），由已知得，直线AB的斜率KＡＢ ＝３，……………2分.

直线ＣＤ的斜率KＣＤ ＝， 直线ＣＢ的斜率KＣＢ ＝－２， 直线ＡＤ的斜

率KＡＤ ＝。

……………………………………………………………………………8分

由CD⊥AB，且CB∥AD，得，………11分

所以点Ｄ的坐标是（０，１）……………………………………..12分 9.求过点

，并且在两轴上的截距相等的直线方程.

参考答案：因为直线ｌ经过点Ｐ（２，３），且在ｘ轴，ｙ轴上的截距相等，所以

（１）当直线过原点时，它的方程为

；……………………………5分

（２）当直线不过原点时，设它的方程为所以，直线的方程为综上，直线的方程为

由已知得，

。……………………………………….11分 ，或者

。……………..12分