眼科病床的合理安排

由分析可知，病人的逗留时间与所分配的床位数有关，下面通过排队论系统来研究两者之间的关系。下边以第i类病人情形为例。

由问题的假设，病人流为泊松流，每天平均到达间隔时间为?i，并记每天到达间隔时间方差为Var[?i]。各病床的服务时间满足负指数分布，且它们的工作是相互独立的。单个病床的每天平均服务率为?i，即单位时间内被服务完的患者数为?i，记每天服务率方差为Var[Ti]。则?i与病人平均接受服务时间Ti满足如下关系式

Ti?1?i (17)

又由于系统中每个床位为并联工作，故此服务系统为M/M/Si系统。

设系统的状态为n，即系统中有n个第i类病人的概率为Pni(n?0,1,2,?,Si)，可以得到系统状态概率的平衡方程为

??P1i??P0i? ?(n?1)?Pn?1,i??Pn?1,i?(??n?)Pni(1?n?Si) (18)

??Si?Pn?1,i??Pn?1,i?(??Si?)Pni(n?Si)求解此方程组，可得各状态概率为 P0?[?Si?11n?0n!?(?n)?11?Si!1???(Si) ] (19)

?1

?1?n?n!(?)P0?Pn??1?n?1()P0n?Si???Si!Si当,n?Si

,当n?Si(20)

其中???Si?，表示系统的服务强度。

排队等待住院的患者数为

? Lqi??n?Si?1(n?Si)Pn (21)

由Little公式，顾客等待的时间为

Wqi?17

Lqi?i

(22)

由式(14) (21) (22)，可得病人的逗留时间与所分配的床位数的关系如下

?? Wsi?n?Si?1(n?Si)Pn?i?Ti

(23)

上述式子求解复杂，为了简化计算，考虑在系统达到负荷时的情形。

记系统负荷为Li ：Li??i?i??iTi。可近似认为系统在高负荷状态下，即

Si?Li?0时，M/M/Si系统的所有服务台（病床位）都被长期占有，因此整个

服务系统可以看作一个以?i为到达间隔，

TiSi为服务时间的M/M/1系统，高负

荷状态下M/M/Si系统顾客平均等待时间的近似解如下：

Wqi??i(SiVar[?i?]VarT[2Si(Si?Li)2i (24)

])5.5.3 约束条件的确定

由题意，病床总数N为79张。则各类患者病床数应满足

5

?Si?1i?79 (25)

根据医院的统计结果，做两只眼的白内障患者在所有白内障患者中大约占到60%，则在分配床位时该两类患者的床位数应满足如下比例

S1S2?40%?60# (26)

在实际生活中，等待时间总为非负值，分析式(4)可知，要使Wqi?0，必须有Si?Li?0。否则，当系统负荷超过病床的数目时，排队系统将达不到稳定的状态，队伍将越排越长。即

Si?Li (27) 5.5.4 模型五的确定

通过上述分析，得到使得所有病人在系统内的平均逗留时间最短的病床比例分配模型，基于排队论的非线性规划模型： minWs?15siW?5i?1?15(?5i?1?i(SiVar[?i]?Var[Ti])2Si(Si?Li)18

2?Ti) (28)

?5??Si?N?i?12?S1 s.t.?? (29)

S23??Si?Li(i?1,2,?,4)??Si?Z(i?1,2,?,4)(1) 求解

解得最优解Si?后，利用相互比值可得病床比例分配安排。即白内障患者（单眼）所占床位数比例为：

S4N?S1?N；白内障患者（双眼）：

S2N?；青光眼患者：

S3N?，

视网膜疾病患者； ，外伤患者：

S5N?。

(2) 当N?79时，模型的求解

确定Li：由Li??iTi，每类疾病床位服务系统负荷如下表：

表8 每类疾病床位服务系统参数 第i类病人 1 1.6 5.23611 8.377778 2 2.216216 8.560976 18.972972 3 1.054054 10.487179 11.054053 4 2.657859 12.544554 33.342107 5 1.018519 7.036364 7.166670 ?i Ti Li 由上述分析可知，各排队系统在理论上所需床位的最小值为Si?Li。而

55i?Li?1?78.91358?79。即在满足?Si?79i?1的约束条件下，理论所需床位为模型

的最优解。不然，若有某个系统床位减少，低于负荷值，将会导致队伍不断增长，病人等待住院的时间也会不断增加，从而使得逗留时间变长。

综上分析，求得可行解有两组：

第一组：S1?9，S2?19，S3?11，S4?33，S5?7。 第二组：S1?8，S2?19，S3?11，S4?34，S5?7。 在第一组解下求得所有病人平均逗留时间为WW2s1s?15siW?5i?1?30.31104，

?35.86464。可见W1s?W2s。第一组分配比第二组优。

19

最终求得各类病人病床分配比例为：9:19:11:33:7。即白内障患者（单眼）所占床位数比例为：11.39%，白内障患者（双眼）：24.05%，青光眼患者： 13.92%，视网膜疾病患者： 41.77%，外伤患者： 8.87%。

六 模型的评价及改进

6.1 模型的评价 6.1.1 模型的优点

(1) 模型一从医院和病人两方面的利益出发，并以此为优化目标建立了双向评价指标体系，系统全面的对病床安排方案进行评价。在模型中定义了病床的有效利用指数和病人的满意度函数，综合了其他各种影响因素，对病床安排方案给医院和病人两方面带来的利益影响进行了有效刻画和评价。

(2) 模型二中根据各类病人手术时间、准备时间不同的特点，采用动态规划方法进行优化，最终给出了从星期一至星期天的每天各类病人安排顺序，有效地减少了术前的冗余时间，使得病床的利用率有所提升。

在对各类病人进行安排时，我们人为地引进“时间”因素，将决策安排视为多阶段决策问题，利用动态规划方法处理，易于确定全局最优解。

而在对第二天安排病人住院的过程中，利用了计算机仿真技术，实时模拟病人就诊、入院、手术、出院的全过程，使得我们能够追踪到整个住院系统住院人数、等待住院人数、空余床位等的变化情况。

(3) 模型五中将病床分配问题考虑为多科室排队系统问题，在一个科室中，由排队论知识可以建立病床数与平均逗留时间的函数关系，而在多科室这个系统中，以所有病人平均逗留时间最短为目标建立了非线性规划模型，最终求得各科室最优的病床数。 6.1.2 模型的缺点

(1) 在本题中，排队论的应用很好地联系了病床数与平均逗留时间，简化了问题的求解,但是它只是简单的从病人的满意度来对手术安排时间进行衡量，而没有考虑医院方面的收益。

(2) 非线性规划函数求解较为复杂，而此模型又引入了排队论，使得约束条件增加，有可能不存在可行解。 6.2 模型的改进

(1) 模型一在定义满意度函数时，将门诊到入院时间和入院到进行手术前的时间综合起来进行考虑，这样的话就削弱了两个时间单独的影响力，因此为了更好的确定满意度函数，可以将这两个时间分别进行讨论，建立两个指标。

(2) 问题三是一个预测问题，病人的状态是离散的、随机的，医院住院安排是一个动态系统，每个时刻不停地有患者的流入、流出，因为该问题没有时间的后效性，因此可以利用马尔科夫链来描述这种动态转移过程。首先需要确定系统中患者的状态集，再计算出各个状态之间的转移概率，这样能得到每种状态下，住院人数和等待住院人数的数量。

利用本题算出的闲置床位数量，再根据病床的现有量和变化量，然后由每天处于不同状态患者的人数，得到住院时间的安排。

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