流体力学II教材 - 图文

duu* ???t?? （5-29）

dyl进一步假定l?ky，其中k?0.4为von- Karmann常数，又有

1 u??lny??? （5-30）

k1??这里无量纲常数??????ln???， ??则是粘性底层与湍流核心层之间分界处的y值。

k （4）根据实测数据定出常数，得到整个二维定常简单剪切湍流平均速度分布为

,y??11.5?y?u?? ? （5-31） ??2.5lny?5.5,y?11.5?如果考虑粘性底层与湍流核心层之间还有一个过渡层，则又有

?,y??5y?? u???5.0lny??3.05 , 5?y??30 （5-32）

??2.5lny??5.5,y?30?

5-6．湍流模式理论

（1）0方程模式，即只在Reynolds方程组的基础上补充关于涡粘性系数的代数方程而不是微分方程使方程组能够封闭求解，其中最常见的就是混合长模式，此外还有von-Karmann模式

dud2u2 ?t??k/(2) （5-33）

dydy23其中k为von- Karmann常数。

（2）2方程模式，也叫k??模式：把涡粘性系数写成

?t?C??K2其中K和?分别称为湍流脉动动能（或湍动能）和湍动能耗散率，定义为

? （5-34）

1 K?u'2?v'2?w'2 （5-35）

2??u'?u'?u'?v'?v'?v'?w'2?w'2?w'2??()2?()2?()2?()2?()2?()2?()?()?()

??x?y?z?x?y?z?x?y?z （5-36） C?则是一个待定的无量纲常数。然后，通过补充两个关于K和?的微分方程使Reynolds方程组能够封闭求解。

在二维简单剪切湍流条件下，K和?满足的补充方程可以写成

?t?K?K?K??u2?3?(?u)?[(??)]??t()?CDK2 （5-37） ?t?x?yPrK?y?yl??????t????u2?2?(?u)?()?C1?t()?C2? （5-38） ?t?x?yPr??yK?yK这里又引入了PrK、Pr?、C1、C2、CD等五个无量纲常数以及有量纲参数l，它们都需要通过实验确定。

（3）二维定常湍流运动中无量纲守恒型k??模式方程的统一形式为

???????? (u?)?(v?)?(?)?(?)?s （5-39）

?x?y?x?x?y?y其中u、v是无量纲的平均速度分量，?是未知函数，在不同的方程中有不同的意义，?和s则是?的某个已知函数。

取??1， ??s?0，得到连续性方程

?u?v（5-40） ??0

?x?y?1K2?u?1K2?v?p1K2[(?C?)]?[(?C?)]??C?取??u， ??， s?，?xRe??x?yRe??x?xRe?得到x方向动量方程

?2??1?u?1?v?u?p （5-41） (u)?(uv)?[2(??t)]?[(??t)(?)]??x?y?xRe?x?yRe?x?y?x其中

?t?C?K2为无量纲的涡粘性系数，K和?则为无量纲的湍动能和湍动能耗散。取??v，

? （5-42）

?1K2?u?1K2?v?p1K2[(?C?)]?[(?C?)]????C?， s?，又得到y方?xRe??y?yRe??y?yRe?向动量方程

???1?u?v?1?v?p(uv)?(v2)?[(??t)(?)]?[2(??t)]? （5-43） ?x?y?xRe?y?x?yRe?y?y1?t?u2?v2?v?u2取??K， ??， s??t[2()?2()?(?得到湍动能K的?)]??，

RePrK?x?y?x?y方程

??K??K???1?1(uK)?(vK)?[(?t)]?[(?t)]? ?x?y?xRePrK?x?yRePrK?y?u?v?v?u??t[2()2?2()2?(?)2]?? （5-44）

?x?y?x?y??u2?v2?v?u2?21?t)]?C2?取???， ??， s?C1?t[2()?2()?(?，得到

K?x?y?x?yKRePr?湍动能耗散率?的方程

???1????1???(u?)?(v?)?[(?t)]?[(?t)]? ?x?y?xRePr??x?yRePr??y?u2?v2?v?u2?2?C1?t[2()?2()?(?)]?C2 （5-45）

K?x?y?x?yK其中参数可取为：C??0.09， C1?1.44， C2?1.92， PrK?1.0， Pr??1.32。数

?值计算与实验结果对照发现，各向同性区域吻合良好，但在速度梯度大的强剪切流场中误差较大。 （4）模型参数辨识：一般思想是将通过模型数值计算得到的结果与实测数据进行比较，然后改变参数重新进行比较，这样反复多次，再利用最小二乘法等方法建立目标泛函的极值问题，从中求解确定最优化参数值。结果发现，参数PrK和Pr?灵敏度较低，所以一般可以略去不必进行辨识；对于轴对称管流这一类简单剪切流动而言，上述参数的通用值比较

有效，C?、C1、C2的差值分别在2.22%，3.40%，4.95%左右；在二维后向台阶流动这一类典型分离流动中，参数通用值误差就较大，建议取C??0.497， C1?1.482，

C2?1.657；而在轴对称突扩管流问题中，则建议C??0.103， C1?1.507， C2?1.946。

5-7．圆管中的定常湍流

?p、Qv、?、?、D和e六个，其中l是某一段管l道长度，?p是相应的压降（平均压强梯度），D是平均管径，e是管壁表面的粗糙度（实际管径与平均管径D的偏差的绝对值的平均值）。对应的独立无量纲参数有三个：

Qv?pDDe是湍流平均速度?，这里uave?ReD?uave、 和沿程阻力系数??211?D?uavel?D224e分布在管道截面上的平均值。理论分析的主要任务是根据ReD和的数值确定管内流动的

D?p4e?2??W ? ?W??uave ? 单位长状态和???(ReD,)的函数形式，然后利用lDD8度圆管受到的总阻力F??D?W。

（2）光滑管的情况：e?0，实验发现此时管内湍流平均速度分布表达式仍可以采用

（1）问题提法：特征物理量有根据Prandtl混合长理论给出的对数律公式

?,y??11.5y?u?? ? （5-31） ?,2.5lny?5.5y?11.5?u*yD?不过这里无量纲坐标y?中的y??r， r是以圆管中心为原点的径向坐标。根据

?2?式（5-31），光滑也可以理解为粗糙度e?11.5?u*。

因为线性底层通常很薄，所以在计算uave时可以将它略去而得到

8DD?2urdr?(2.5lny?5.5)(?y)dy ?D2?02Du*8D?2.5ln?5.5?2?2.5?2(lny?ylny)dy

0?D2u*D?2.5ln?1.75 （5-46）

2?u*DReD?u*2?)， 因为??8(，所以有 2?42uave11uave??2.035lg(ReD?)?0.913 （5-47） *?8uuave8?u*D2?D20调整为

1??2.0lg(ReD?)?0.8 （5-48）

36式（5-48）称为Prandtl-Schlichting公式，适用范围3?10?ReD?4?10。

由于通过（5-48）式计算?是一个隐函数，不易求得，所以又引入幂函数壁面律（

1律） 7uu*y1 ?8.562()7 （5-49）*u?于是有

115**1uave8DuyD8u49D?2?28.562()7(?y)dy?2?8.562()7?()7 *uD0?2D?12021ReD149umax49uave1778 （5-50） ???8.562()/(*)?5.0282ReD*60u602u从而得到

??0.3164R514（层流eD ?Hagen-Poiseuille公式有??64ReD） （5-51）

35?1式（5-51）称为Blasius公式，适用范围3?10?ReD?10。 当ReD?10时，可以改用

1壁面律 101uu*y10 ?11.5() （5-52）*u?12?uave1111 ??0.1390ReD （5-53） ? *?7.586ReD，

u （3）粗糙管的情况：Nikuratse通过大量实验发现，由对数律公式导出的

uumax2y??2.5ln （5-54） **uuD其实与管的粗糙度无关，都能与湍流核心区的数据很好吻合。因此，若把速度分布写成

uu*y ?2.5ln?B （5-55）

u*?umaxu*D其中B?*?2.5ln为一常数，则粗糙度的影响只是体现在B的取值上。根据

u2?Prandtl-Schlichting的实验

B?5.5?2.5ln(1?0.3当

u*e?) （5-56）

u*e??70时可近似为

B?5.5?2.5ln(0.3u*e?)?8.5?2.5lnu*e?u*e （5-57） （

由此可知B的极限值为5.5（e?0）和8.5?2.5ln入（5-55）计算uave可得

u*e????）。将B的表达式代

1uave1.752.52?u*e9.428e???ln[?(1?0.3)]?1.07?2.035lg(?) **??8u88uDReD?D1与Prandtl-Schlichting公式相类似调整系数后得

1??1.14?2.0lg(9.35e?) （5-58） DReD?