2017年高中数学人教A版选修4-1学案：第一讲四直角三角形的射影定理 Word版含解析

四 直角三角形的射影定理

1．掌握正射影即射影的概念，会画出点和线段的射影． 2．理解并掌握射影定理，并能解决有关问题．

1．射影

从一点向一条直线所引垂线的______，叫做这个点在这条直线上的正射影．一条线段的

__________在一条直线上的正射影之间的线段，叫做这条线段在这条直线上的正射影．点和线段的正射影简称为______．

【做一做1】线段MN在直线l上的射影不可能是( ) A．点 B．线段 C．与MN等长的线段 D．直线 2．射影定理 文字 直角三角形斜边上的____是两条直角边在斜边上射影的比例中项；语言 两条直角边分别是它们在______上射影与斜边的比例中项 符号 语言 图形 语言 作用 确定成比例的线段

222222222

(1)勾股定理：AC＋BC＝AB，AD＋CD＝AC，BD＋CD＝BC.

在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则CD＝________；AC＝2________；BC＝________ 22S△ACDADAC2

(2)面积关系：AC·BC＝AB·CD＝2S△ABC，＝＝. S△CBDBDBC2

【做一做2－1】如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，且CD＝4，则AD·DB等于

( )

A．16 B．4

C．2 D．不确定

【做一做2－2】如图所示，Rt△ABC中，AC⊥BC，点C在AB上的正射影为D，且AC＝3，AD＝2，则AB＝__________.

答案：

1．垂足 两个端点 射影

【做一做1】D 当MN⊥l时，射影是一个点；当MN与l不垂直时，射影是一条线段；特别地，当MN∥l或MN在l上时，射影与MN等长，线段MN的射影不可能是直线．

2．高 斜边 BD·AD AD·AB BD·BA 【做一做2－1】A ∵AC⊥CB，CD⊥AB，

2

∴AD·DB＝CD.

2

又CD＝4，∴AD·DB＝4＝16.

9

【做一做2－2】 ∵AC⊥CB，

2

又D是C在AB上的正射影，

2

∴CD⊥AB，∴AC＝AD·AB.

AC29

又AC＝3，AD＝2，∴AB＝＝.

AD2

用射影定理证明勾股定理

22

剖析：如图所示，在Rt△ABC中，AC⊥CB，CD⊥AB于D，则由射影定理可得AC＝AD·AB，BC＝BD·BA，

则AC+BC＝AD·AB+BD·BA＝(AD+BD)·AB＝AB，

222

即AC+BC＝AB.

由此可见，利用射影定理可以证明勾股定理．过去我们是用面积割补的方法证明勾股定理的，现在我们又用射影定理证明了勾股定理，而且这种方法简捷明快，比面积法要方便得多．

题型一 与射影定理有关的计算问题

【例题1】若CD是Rt△ACB斜边AB上的高，AB＝25，AC＝20，试确定DB和CD的长．

222

分析：用射影定理求出AD，从而求出DB，再用射影定理求出CD．

反思：(1)本题可先用勾股定理求出BC，再用射影定理求出BD，最后用勾股定理求出CD；此外还有其他方法．

(2)运用射影定理进行直角三角形中的相关计算，有时需要与直角三角形的其他性质相结合来综合求解．如本题中，直角三角形中的六条线段AC，BC，CD，AD，DB，AB，若已知其中任意两条线段的长，就可以计算出其余线段的长．

题型二 与射影定理有关的证明问题

【例题2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，BE平分∠ABC交AC于点E，EF⊥BC于F.求证：EF∶DF＝BC∶AC．

分析：先由射影定理得AC＝CD·BC，即2

ACBCAEAC＝，又由EF∥AD得＝，通过中间变量即可求CDACDFDC

得．

反思：利用射影定理证明比例式成立的证明问题在本部分中比较常见，在解题过程中，应弄清射影定理中成比例的线段，再结合比例的基本性质加以灵活运用．

答案：

【例题1】解：∵AC⊥CB，CD⊥AB，

22

∴AC＝AD·AB，CD＝AD·DB.

AC2202

∴AD＝＝＝16.

AB25

∴DB＝AB－AD＝25－16＝9.

∴CD＝AD·DB＝16×9＝12.

【例题2】证明：∵∠BAC＝90°，AD⊥BC，

ACBC.

CDAC∵BE平分∠ABC，EA⊥AB，EF⊥BC， ∴AE＝EF.∵EF⊥BC，AD⊥BC，

AEAC∴EF∥AD.∴＝，

DFDCEFACEFBC∴＝.∴＝，即EF∶DF＝BC∶AC. DFDCDFAC由射影定理，知AC＝CD·BC，即＝2

1在Rt△MNP中，MN⊥MP，MQ⊥PN于点Q，如图所示，NQ＝3，则MN等于( )

1

A．3PN B．PN

3C．3PN D．9PN

2在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D，若

AC3BD＝，则等于( ) AB4CD34169

A． B． C． D． 43916

3(2011·陕西宝鸡质检)已知PA是⊙O的切线，切点为A，PA＝2 cm，AC是⊙O的直径，PC交⊙O于点B，AB＝3 cm，则△ABC的面积为__________ cm.

4如图，已知AD是△ABC的高，DP⊥AB，DQ⊥AC，垂足分别为P，Q.求证：AP·AB＝AQ·AC．

2