混沌分形学

(五). 分维的物理意义:

分形是复杂不规则的系统,而描述这系统的粗糙,破碎,不规则,不光滑程度及复杂性的定量指标和手段就是非整数维数:分维,分数维数是描述复杂对象或系统的最基本特征--分形特征的定量参数. 分维D度量了系统填充空间(致密)或缝隙(疏松)的能力,刻划了系统的无序性,表征了动力学系统最低的基本或独立变量的个数.豪斯道夫维数定量地描述了一个集合规则与不规则的几何尺度,其整数部分反映出图形的空间规模(整数维数).对于奇怪吸引子,维数给出了需要表征其上点的位置所需的信息量.广义维数或奇异谱主要表征多分形的非均衡性和奇异性.在材料科学中分维与材料的某些性质参数有关.在物理化学领域,分维同催化剂的催化作用和选择性有关;与表面分形,膜,吸附剂(经络:静闭活开Maze-Channel模型) ;高分子,蛋白质,胶体凝聚,渗流,分形生长,分形行走的刻划等关系密切.在时间序列中,关联维数和广义维数似乎有独特作用.在地震预报中,能量分维,时间分维和空间分维可以作为单项参考参数.在石油开采和生物生态学中,分维各有不同的含义.维数还是集合层次的量值标号和物理化学量的非整数量纲,反映复杂系统的层次结构和奇异性.但是,分维能否作为一个独立参数存在,现在还不太清楚,故寻找分维的更深刻的含义和实际用途是分形理论今后发展的主要问题.

分形研究的对象及应用范围极广,几乎涉及自然与社会的各个领域.分形的类别也很多, 有线性分形,非线性分形;有规分形,无规(随机)分形;自然分形,社会分形;自相似分形, 自仿射分形;固体分形(填充维,孔隙分形--经络?);重分形,胖分形等.分维可通过测量来确定,方法有多种.分形扩展的产物有广义体积(面积),扩展了体积的内涵.

(六). 规则分形--数学,哲学家古人的创造:

1.古老阴阳集

分形有许多类别, 这里重点推介一个被我们所构造的,并由我们予以数学化的,规则的古老传统的\阴阳\分形集(二分集,三分集).

阴阳(实质)是系统,事物或现象的\物质-能量-信息\整合统一体的状态函数(EP,EdS,pP等) 的划分,两分.状态函数u≥S界值域值的部分叫阳;u≤S的叫阴.阴阳二集合及其分界值域S具有模糊性和多变性,它们是\模糊变集\可以用集合论和模糊论定量定义.这是阴阳的本质(实质) 及现代诠释的最新认识.故理想化的阴阳划分可以采用1/2法或1/3法(阴阳的两头可以是确定性,占总体的两部分2/3,中间模糊分界S域集算一份1/3).按阴阳的划分规则具有无限可分性, 即一分二,二分四,...,构造结果见图.取一线段[0,1]二等分, 图a)实线部分表示\阳\无线,空白处表\阴\此阴阳两部分再二等分,依此无限划分下去得到阴阳二分集.此集合有自相似性,满足自相似集合(的定义):是一有界集合,它包含N个不相重叠的子集,当其放大或缩小r倍后,仍与原集合重合.是最简单的分形

集.图c)是阴阳三分集,取线段[0,1],分成三等分(分形元),左为阴,右为阳,中间空白处为模糊分界(象太极图中间的S型交合部),此三段再三等分,照此无限分割下去,得到了类似康托尔三分集,图b)的\阴阳三分集\也具有自相似性(特别是从第三步以后).其标尺ε,及与之对应的被分割或保留的实线或空白数目N(ε) 的关系附图旁.则阴阳二分集的分维D=lim[ln2n-1/ln(1/2- n)]=lim[(n-1)/n]=1;阴阳三分集的分维D=lim[ln2(3n-1)/ln(1/3-n)=lim[ln2/ln(1/3-n)+ln3n-1/ln(1/3-n)]

=0+lim[(n-1)/n]=1,n→∞;空儿或阴(阳)集的分维D=lim[ln3n-1/ln(1/3-n)]=1.三者分维值的相等,预示了阴阳分形集的二分,三分构造法所隐含的内在等当性, 并间接验证了阴阳的模糊三分集是成立的,且它与传统阴阳\二分\规则无矛盾,互容.同时也揭示了阴阳实质的模糊定量的本质和关键，或相似维数Df=ln2/ln2=ln3/ln3=1.

仿阴阳分形集还能构造出中医或中国(东方)哲学的阴阳二气集,阴阳五行集,八纲集,四诊集,藏象集,细胞分裂(似阴阳二分集),胚胎生长发育(多重)分形系统等等,这也是分形领域的新成员.而复杂,不规则,多元,不光滑,曲折,迷宫,航道,层析柱样的\静闭-活开Maze-Channel动态活体分形经络\细胞联结,胚胎生长的产物:经络解剖结构与形态,经络壁--经络分界的分形,均是自然界中医的分形--随机分形.

传统中医的哲学观通常被公认为有两个：即中医的整体观和辨证观。但是，传统中医理论中，最常被广泛使用、博引和遗漏的哲学观第三元素：“相似观”，长期以来却被业界忽视、忽略，即没有被提炼抽象出来的阴阳、五行、藏象、经络、气等，以及中西医学结合及创新中医基础理论伟大实践中信息实质背后的哲学本质，既在信息不对称时，才有的信息不守恒。其实，这些就是长期被隐藏遗忘的中医第三哲学元素“相似观”，即自然界朴素的横向、纵向取类比对的中西结合医学哲学观的相似观：宏观传统中医与现代西医微观-还原、整体-还原统一的相似模仿比对——中西医结合。他与现代新兴的20世纪可与伟大的相对论、量子论等并提的重要创作新论“复杂性科学”的分形论fractal“相似”。“某种东西在它被创造出来之前并不存在”[1-5]。

分形论（碎形）是数学化科学化的相似论，是精细、精致现代化，微观-宏观、整体-还原纵向横向统一的新学科。中医的相似论更古朴遥远、原始、文学，显粗粒化、粗观，有粗整体少精微观还原和定量，而阴阳、五行是他的核心。分形论(Fractal) 的创立虽然是近代,即上世纪70年代中期,由美国业余的杂家”科学家曼德勃罗特(Mandelbrot)教授创造的。但就分形发展历史看,西式观点认为是来自1875年的西方数学;但其中之一脉,应该是公元前四,五百（几千）年,东方阴阳,五行说的非科学、非数学化的再升华与创造。非常不幸,中国又错过了一次创新领先的大好时机。

1.现代化中医的相似观分形特性：

分形是“不规则的,分数的,支离破碎的”“碎形”，即实用定义2：组成部分以某种方式与整体相似的形体叫分形；数学定义1： 如果一个集合在欧氏空间中

的豪斯道夫维数Dh恒大于其拓扑维数Dt，即Dh>Dt，(Dh≥Dt), 则称该集合为分形集,简称为分形。分形是无特征长度（标度不变性）、自相似、自仿射、n层次的，与传统中医原始相似分形那么一致协调！经典欧氏几何是规整光滑的几何M=ld，其欧氏维数：d=logM/logl=Dt，都是整数（维）、分立、不连续的，如点是0维的，直线是1维的，平面是2维，空间立体是三维。而分形几何是不规则、粗糙的非欧几何。其维数出现了分数、小数点，介于整数维数0，1，2，3之间，还可是整数维。就象自然数之后发明了小数、分数，实数，无理数，虚数；现代音乐发明了1/4音阶一样。古老的阴阳五行藏象早就具有无特征标度、度量性，自相似，多层次，多相似，自仿射的相似观分形论的雏形。中西结合的新阴阳、五行、阴阳五行、藏象、经络、八纲说等正被赋予现代科学的分维内涵。

1.1.分形的自相似性:是复杂系统的总体与部分,这部分与那部分之间的精细结构或性质所具有的相似性,或者说从整体中取出的局部(局域)能够体现整体的基本特征。即几何或非线性变换下的不变性: 在不同放大倍数上的性状相似。包括几何结构与形态、过程、信息、功能、性质、能量、物质(组份)、时间、空间等特征上,具有自相似性的广义分形。自相似性的数学表示为:f(λr)=λαf(r),或 f(r)～rα。其中λ称为标度因子,α称为标度指数(分维),它描述了结构的空间性质。函数f(r)是面积、体积、质量等占有数、量等性质的测度.

阴阳、五行是相似的，并且是自相似的。此阴阳两部分先二分，再两分,依此（有）无限划分下去得到阴阳二分集。此集合有自相似性,满足自相似集合的定义:是一有界集合,它包含N个不相重叠的子集,当其放大或缩小r倍后,仍与原集合重合，是最简单古老的中国分形集。三分阴阳也一样[6 ] ，就象著名的分形康托集。

1.2.分形的标度不变性（无特征长度）：一个具有自相似性的物体(系统,事物)必定满足标度不变性,或者说这类物体没有特征长度。标度不变性是指在分形上任选一局部区域,不论将其放大或缩小,它的形态、复杂程度、不规则性等各种特性均不会发生变化,所以标度不变性又称为伸缩对称性。

阴阳五行就具有这样的特性。五行[7]是先人借用自然界中,木、火、土、金、水五种物质的属性、功能、运动、变化，生克关系与规律等的共同性(不变性)及相似性来描述、阐释广博的自然界中万事万物与现象间的“相似”关系、联系、规律的朴素,质朴的学说。是古人伟大智慧的结晶。而此等关系正是现代分形学所描述的对象:分形体,分形元的祖先始祖。五行具有分形的两个本质特征:无标度性和自相似性。从五行概念看,大到宇宙天体、方位,小到人体脏腑,其五行间是不用考虑距离、长短、大小等尺寸、重量(质量)、时间等标度、度量或尺度的,它只关注对象的共同的相似的“五”行特性与“相似关系”的趋同、趋似。即五行是无长度、无大小、无标度、无特征尺度(无特征长度、无特征时间、无特征质量(重量))的体系,用现代数学语言把这体系称作集合:五行集(a.标度不变性);并且所有各层面,层次的五行：五色、五味、五脏、五气、五官、五味、五音等,都是以五行的特点,特征,即(自)相似性,作为归类、排列、划分的依据和标准的(b.自相似性);当然五行的层次性也是显而易见的(c.层次性,递归性)。五行是标准的古老分形集,只是没有更深层次的数学化(解析几何,分形几何)。而阴阳是最质朴、最简单、古朴、经典的中医分形集。

1.3.自仿射性:自相似系统是局部与整体在不同方向上的缩放,拉伸的拷贝,其比例都是同一的,

是常数.而自仿射系统,其在各方向上的伸缩,拉放拷贝的比例不同.从阴阳到五行，五行到五气、五性（风寒暑湿火），到五脏，到六腑，到经络，到穴位，或反过来，其拉伸的比例是不定的，本身就没有度量比例，比西方分形还超脱。

1.4.层次性、递归性:自相似性是不同尺度上的对称,是跨层次的共性观(分形元,不变性)--同样形态在不同尺度,不同层次上的相同,或相似结构的重复构建与变换,其结构套着结构,特征或结构隐含嵌套,具有多层次性和递归性。即从阴阳层到五行层，再到阴阳五行层脏腑层、经络层等，从五行层到五味、五脏、五（六）腑、五官、五气、五体、五更、五志、五季，经络等不同层次，多个N层次，都能相似递归到五行“五元素”五进制。

1.5.分形元：分形集中这些最基本的相似单元就是分形论中的分形元--初始元--生成元。阴阳的分形元就是阴和阳二元（或三元、三进制）；五行的分形元是金木水火土五元素样的，以“五”、“五行”维基本相似单元的生成元。并由此衍生的五味、五脏等五行分形集。

2.现代中医哲学观相似元素的数理定量与分形集和分维

2.1.阴阳分形集的构造与分维：按照阴阳的划分规则,可得到类似康托尔二分、三分集的阴阳二、三分集,也具有自相似性。其标尺ε,及与之对应的被分割或保留的实线(阳,阴)或空白(阴,分界)数目N(ε)的关系有:阴阳二分集的分维 Df=lim[ln2n-1/ln(1/2-n)]=lim[(n-1)/n]=1。阴阳三分集的分维Df=lim[ln3n-1/ln(1/3-n)]=1,其中n→∞。二分、三分集的相似比分别为2/2和3/3,显然它们的分维(相似维数)也是1：ln2/ln2=1,ln3/ln3=1。

2.2.五行(Quinaries)分形集的构造及分维：取一单位正方形每条边扩大3倍,成九格图。依照五行的笛卡尔平面坐标的排位,排布特点,选其中五格金、木、水、火、土定为五行。五行可以有两种排列方式。则五行的分维Df=ln5/ln3=1.4650;余下的四空格(Quaternaries,四象集),其分维D=ln4/ln3=1.0085。多层次的五行关系就象漂亮的维则克图形。

六腑(六经)的分形构造：取一正方体每边3等分，成27个小立方体,保留(或掏空)此立方体六个外表面上(九个小立方体)中心(面心)的六个小立方体,照此法无限分割下去,呈准谢尔宾斯基海绵状结构.该六腑(六经)的分维Df=ln6/ln3=1.6309,剩余部分分维Df=ln(27-6)/ln3=2.7712。

2.3.阴阳五行的统一解析及分形构建：统一化的阴阳-五行集等的分形描述。将先前独立、分离的阴阳、五行、六腑综合、合并成统一化的阴阳五行集可以构建：五脏为阴,五(六)腑为阳,在3×3×3的三维立方体(笛卡尔坐标)中,共有27个小立方体,其中五(六)脏,五腑各居5个小立方体,总共占10个小立方体,照此分割下去，得到类似“谢尔宾斯基海绵”的迷宫。则阴阳五行-五脏五腑的分维Df=ln10/ln3=2.0959;五脏六腑的分维Df=ln11/ln3=2.1827,如把三焦放置在该立方体的中心。准六脏六腑的分维Df=ln12/ln3=2.2619,出于数学上的美学对称需要把心包人为的强加入五脏,此六脏不算正式中医理论的正说,特此声明。阴阳六经(十二经脉)的分维Df=2.2619。

藏象中,功能与特性居于五脏六腑之间的奇恒之腑有六,也可统一纳入阴阳(三分集)五行,夹入五脏与六腑之间(中),阴阳三分集的中间,所谓模糊分界区,构成新的统一的藏象全家福,五脏六腑六奇的分维D=ln17/ln3=2.5789。六脏六腑六奇的分维Df=ln18/ln3=2.6309.十二经脉+奇

经八脉,其分维Df=ln20/ln3=2.7268等。实用中(阴-中-阳)它们之间也是被密切联系在统一的中医整体之中,不是独立,互不相容,分裂的,分形和解析把它们顺理成章地,科学，数理化地联结统一在一起:阴阳五行的真正大统一[8-10]，及“细胞群（细胞社会学）-体液-神经分形经络新模型”的创造。

另外,若把六腑中的三焦分开,比如成五脏八腑(五腑+三焦),也可以给出个分维Df=ln13/ln3=2.3347。六脏八腑分维Df=ln14/ln3=2.4023.五脏八腑六奇的分维Df=ln19/ln3=2.6801。六脏八腑六奇的分维Df=ln20/ln3=2.7268。这些只是出于纯数理学的推演构造,实用中可行否?再探。

古典中医里充满了相似性，是比整体观、辨证观还基本的中医哲学特殊要素，哲学观的第三新元。中医中的“比类取象”是“相似”的同义、近义词或信息的对称、全息的对称，信息守恒律[11]：∑ni=N, ∑Ii=I, ∑Si=S, 即∑pi=1归一化条件的另一种表述。不管中医分形信息放大、缩小多少k倍，还是拷贝复制k次，信息总是守恒：∑kni= kN 。中医的相似分形性，正象我们提出的信息的“属概念+种差”的标准逻辑实质新定义：信息就是事物现象属性标示的集合，区别于信息量定义：不确定性的减少。他是中西医结合属性的延伸，全息相似，属性标识的新集合。现代中医基础理论及中西结合医学从理论上，实践中更应超越古朴的原始相似分形观，创造建立现代的中医学新理论。可先尝试从探索、建立、发掘中医学的新哲学观“相似论”入手。创造中医学相似观部分定量化的新尝试和探究。促进新理论中医学、中西结合医学的现代、科学、数理的新知识增加暨新中医、中西结合医学的理论新创造。