（课标通用版）2020版高考数学大一轮复习 两角和与差的正弦、余弦和正切公式检测（文）

第3讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

[基础题组练]

1．计算－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73°的结果为( ) 1

A. 2C.2 2

B.D.3 33 2

解析：选A.－sin 133°cos 197°－cos 47°cos 73° ＝－sin 47°(－cos 17°)－cos 47°sin 17° 1

＝sin(47°－17°)＝sin 30°＝. 2

2

2．(2019·益阳、湘潭调研试卷)已知sin α＝，则cos(π＋2α)＝( )

57A． 2517C． 25

7B．－

2517D．－ 25

28172

解析：选D.法一：因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sinα＝1－＝，所以cos(π

5252517

＋2α)＝－cos 2α＝－，故选D.

25

22122

法二：因为sin α＝，所以cosα＝1－sinα＝，所以cos(π＋2α)＝－cos 2α525172

＝1－2cosα＝－，故选D.

25

11

3．(2019·湘东五校联考)已知sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则log

23等于( )

A．2 C．4

B．3 D．5

?tan α?5???tan β?

2

11

解析：选C.因为sin(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin αcos β＋cos αsin β231151

＝，sin αcos β－cos αsin β＝，所以sin αcos β＝，cos αsin β＝，所231212tan α以＝5，所以logtan β

?tan α?＝log52＝4.故选C. 5??5?tan β?

1

2

3?π??5π?4．已知cos?－α?＝，则sin?－2α?的值为( )

?6?3?6?1

A． 32C． 3解析：选B.sin?

1B．－

32D．－

3

π? ?5π－2α?＝sin?π＋?－2α????????6??2?3?

π1?3?2???2?π

＝cos?－2α?＝2cos?－α?－1＝2×??－1＝－.

3?3??6??3?5．(2019·洛阳统考)已知sin α＋cos α＝解析：由sin α＋cos α＝

5

，则cos 4α＝________． 2

5522

，得sinα＋cosα＋2sin αcos α＝1＋sin 2α＝，24

1?271?2

所以sin 2α＝，从而cos 4α＝1－2sin2α＝1－2×??＝. 4?4?8

7

答案： 8

5π?3?6．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝，β是第三象限角，则sin?β＋?4?5?＝________．

解析：依题意可将已知条件变形为

33

sin[(α－β)－α]＝－sin β＝，所以sin β＝－.

554

又β是第三象限角，因此有cos β＝－，

5

5π?π?ππ72??所以sin?β＋?＝－sin?β＋?＝－sin βcos －cos βsin ＝. 4?4?4410??72

答案：

107．已知tan α＝2. π??(1)求tan?α＋?的值； 4??

sin 2α(2)求2的值．

sinα＋sin αcos α－cos 2α－1

2

解：(1)tan???

α＋π4?tan α＋tan

π

??＝4＝2＋11－tan αtan

π1－2×1＝－3.

4(2)sin 2αsin2α＋sin αcos α－cos 2α－1

＝ 2sin αcos α2tan α2×sin2

α＋sin αcos α－2cos2α＝tan2

α＋tan α－2＝2

4＋2－2

＝1. 8．已知α∈??π?2，π??αα6?

，且sin2＋cos2＝2. (1)求cos α的值；

(2)若sin(α－β)＝－35，β∈??π?2，π???

，求cos β的值．

解：(1)因为sinαα6

2＋cos2＝2

，

两边同时平方，得sin α＝1

2.

又π

2

＜α＜π， 所以cos α＝－1－sin2

α＝－32

. (2)因为π2＜α＜π，π

2＜β＜π，

所以－π2＜α－β＜π

2.

又由sin(α－β)＝－3

5，

得cos(α－β)＝4

5

.

所以cos β＝cos[α－(α－β)]

＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝－32×41?35?5＋2×??－??

＝－43＋310

.

[综合题组练]

1．若α，β都是锐角，且cos α＝5105，sin(α－β)＝10

， 则cos β＝( )

3

A.

2 2

22或－ 210

B.

2

1022或 210

510，sin(α－β)＝，所以sin α510

C.D.

解析：选A.因为α，β都是锐角，且cos α＝

25310

＝，cos(α－β)＝，从而cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin

510

αsin(α－β)＝2

，故选A. 2

π

2．(2019·河南百校联盟联考)已知α为第二象限角，且tan α＋tan ＝2tan αtan

125π?π?－2，则sin?α＋?等于( ) 6?12?

A．－

10 10

B．10 10

310C．－

10310D．

10

π

tan α＋tan

12ππ

解析：选C.tan α＋tan ＝2tan αtan －2?＝－

1212π

1－tan αtan

12π?π?25π????2?tan?α＋?＝－2，因为α为第二象限角，所以sin?α＋?＝，cos?α＋?＝－12?12?12?5???π?π?5π?π?π?5π?????，则sin?α＋?＝－sin?α－?＝－sin??α＋?－?＝cos?α＋?sin －

12?4?6?6?12?54?????π?π310?sin?α＋?cos ＝－. 12?410?

sin50°3．计算＝________．

1＋sin 10°

sin50°1－cos 100°1－cos（90°＋10°）1＋sin 10°

解析：＝＝＝1＋sin 10°2（1＋sin 10°）2（1＋sin 10°）2（1＋sin 10°）1

＝. 2

1答案： 2

π?4π???4．设α为锐角，若cos?α＋?＝，则sin?2α＋?的值为________． 6?512???

22

4