2019高中数学第一章立体几何初步1.1.1简单多面体学案北师大版必修2

1.1 简单旋转体

学习目标 1.通过实物操作，增强直观感知(重点)；2.能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类(重点)；3.会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征(重、难点).

知识点一 球的结构特征

1.定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面.球面所围成的几何体叫作球体，简称球. 2.相关概念(如图).

3.表示法：球常用表示球心的字母表示，图中的球表示为球O.

【预习评价】 (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)球可以以圆的直径所在的直线为旋转轴旋转得到.(√) (2)球体内的点到球心的距离都不大于球的半径.(√) 知识点二 旋转体

一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体. 知识点三 圆柱、圆锥、圆台

分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台. 【预习评价】

1.圆柱的母线有多少条？它们之间有什么关系？ 提示 圆柱的母线有无数条；相互平行.

2.圆锥过轴的截面叫做轴截面，那么圆锥的轴截面是什么形状？ 提示 等腰三角形.

3.正确的打“√”，错误的打“×” (1)圆台的母线只有一条.(×)

(2)过圆台的轴的截面叫轴截面，它是等腰梯形.(√) (3)用平行于圆台底面的平面去截圆台，截面是圆面.(√)

题型一 旋转体的结构特征

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【例1】 判断下列各命题是否正确：

(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线； (2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；

(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；

(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球.

解 (1)错.由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴.

(2)错.直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示. (3)正确. (4)错.应为球面.

规律方法 (1)圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求.

(2)只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误.

【训练1】 下列命题正确的是________(只填序号).

①以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台； ③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；

④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转180°形成的曲面围成的几何体是圆锥；

⑤球面上四个不同的点一定不在同一平面内； ⑥球的半径是球面上任意一点和球心的连线段； ⑦球面上任意三点可能在一条直线上； ⑧用一个平面去截球，得到的截面是一个圆面.

解析 ①以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转一周才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转一周才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④正确；作球的一个截面，在截面的圆周上任意取四个不同的点，则这四点就在球面上，故⑤错误；根据球的半径定义，知⑥正确；球面上任意三点一定不共线，故⑦错误；用一个平面去截球，一定截得一个圆面，故⑧正确. 答案 ④⑥⑧

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题型二 简单组合体的结构特征

【例2】 如图(1)、(2)所示的图形绕虚线旋转一周后形成的立体图形分别是由哪些简单几何体组成的？

解 旋转后的图形如图所示.其中图①是由一个圆柱O1O2和两个圆台O2O3，O3O4组成的；图②是由一个圆锥O5O4，一个圆柱O3O4及一个圆台O1O3中挖去圆锥O2O1组成的.

规律方法 (1)平面图形以一边所在直线为轴旋转时，要过有关顶点向轴作垂线，然后想象所得旋转体的结构和组成. (2)必要时作模型培养动手能力.

【训练2】 已知AB是直角梯形ABCD中与底边垂直的腰，如图所示.分别以AB，

BC，CD，DA所在的直线为轴旋转，试说明所得几何体的结构特征.

解 (1)以AB边所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆台，如图①所示.

(2)以BC边所在的直线为轴旋转所得旋转体是一组合体：下部为圆柱，上部为圆锥，如图②所示.

(3)以CD边所在的直线为轴旋转所得旋转体为一个组合体：上部为圆锥，下部为圆台，再挖去一个小圆锥，如图③所示.

(4)以AD边所在的直线为轴旋转得到一个组合体：一个圆柱上部挖去一个圆锥，如图④所示.

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【探究1】 边长为5 cm的正方形EFGH是圆柱的轴截面，则从E点沿圆柱的侧面到相对顶点G的最短距离为________cm.

1?5?解析 圆柱的侧面展开图如图所示，展开后E′F＝×2π×??2?2?5

＝π(cm)， 2∴E′G＝ 答案

?5?52

5＋?π?＝π＋4(cm).

?2?2

2

2

52π＋4 2

【探究2】 圆台的两底面面积分别为1，49，平行于底面的截面面积的2倍等于两底面面积之和，求圆台的高被截面分成的两部分的比.

解 将圆台还原为圆锥，轴截面如图所示.O2，O1，O分别是圆台上底面、截面和下底面的圆心，V是圆锥的顶点，令VO2＝h，O2O1＝h1，O1O＝h2，

??则???

49＋1

2h＋h1

＝，??h1＝4h，h1所以?

?h2＝2h，?

h＋h1＋h249

＝，h1

即h1∶h2＝2∶1.

【探究3】 一个圆锥的底面半径为2，高为6，且有一个高为x的内接圆柱. (1)用x表示出圆柱的轴截面面积S； (2)当x为何值时，S取得最大值？ 解 作出圆锥和内接圆柱的轴截面，如图.

x2－rx设圆柱的底面半径为r，则由三角形相似可得＝，解得r＝2－，623x∈(0，6).

22?x?(1)圆柱的轴截面面积S＝2r·x＝2x·?2－?＝－x＋4x，x∈(0，6).

3?3?2222

(2)∵S＝－x＋4x＝－(x－3)＋6，∴当x＝3时，S取得最大值，最大值为6.

33【探究4】 如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3 cm，求圆台O′O的母线长.

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