圆周运动中的临界问题

圆周运动中的临界问题

一．竖直面内的临界问题： a 无支撑模型：

1、如图所示，没有物体支撑的小球，在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：小球达最高点时绳子的拉力（或轨道的弹力）刚好等于零，小球的重力提供其做圆周运动的向心力，即mg=

2mv临界r

上式中的v临界是小球通过最高点的最小速度，通常叫临界速度，v临界=rg.

v2?mg ②能过最高点的条件：v≥v临界. 此时小球对轨道有压力或绳对小球有拉力N?mr③不能过最高点的条件：v

2、如图所示，有物体支持的小球在竖直平面内做圆周运动过最高点的情况：

①临界条件：由于硬杆和管壁的支撑作用，小球恰能达到最高点的临界速度 v临界=0.

②图（a）所示的小球过最高点时，轻杆对小球的弹力情况是

当v=0时，轻杆对小球有竖直向上的支持力N，其大小等于小球的重力，即N=mg；

v2当0

r其取值范围是mg>N>0. 当v=rg时，N=0；

v2?mg，其大小随速度的增大而增大. 当v>rg时，杆对小球有指向圆心的拉力N?mr③图（b）所示的小球过最高点时，光滑硬管对小球的弹力情况是

当v=0时，管的下侧内壁对小球有竖直向上的支持力，其大小等于小球的重力，即N=mg.

v2当0

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增大而减小，其取值范围是mg>N>0. 当v=gr时，N=0.

v2?mg，其大小随当v>gr时，管的上侧内壁对小球有竖直向下指向圆心的压力N?mr速度的增大而增大.

④图(c)的球沿球面运动,轨道对小球只能支撑,而不能产生拉力.在最高点的vv>gr时，小球将脱离轨道做平抛运动.

c 类似问题扩展

如图所示，在倾角为?的光滑斜面上，有一长为l的细线，细线的一端固定在O点，另一端拴一质量为m的小球，现使小球恰好能在斜面上做完整的圆周运动，已知O点到斜面底边的距离sOC=L，求：小球通过最高点A时的速度vA．

A

O ?

B

? C

二．平面内的临界问题 如图所示，用细绳一端系着的质量为M=0.6kg的物体A静止在水平转盘上，细绳另一端通过转盘中心的光滑小孔O吊着质量为m=0.3kg的小球B，A的重心到O点的距离为0.2m．若A与转盘间的最大静摩擦力为f=2N，为使小球B保持静止，求转盘绕中心O旋转的角速度ω

2

的取值范围．（取g=10m/s）

三．绳的特性引发的临界问题

如图所示，质量为m=0.1kg的小球和A、B两根细绳相连，两绳固定在细杆的A、B两点，其中A绳长LA=2m，当两绳都拉直时，A、B两绳和细杆的夹角?1=30°，?2=45°，g=10m/s2．求： （1）当细杆转动的角速度?在什么范围内，A、B两绳始终张紧？ A （2）当?=3rad/s时，A、B两绳的拉力分别为多大？ 30° B 45° C ?

模型一 圆周运动中的渐变量和突变量

例1：如图所示，细线栓住的小球由水平位置摆下，达到最低点的速度为v，当摆线碰到钉子P的瞬时（ ）

P A．小球的速度突然增大 B．线中的张力突然增大

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临界

=gr.当

小球

C．小球的向心加速度突然增大 D．小球的角速度突然增大

模型二 圆周运动与平抛运动相结合

例2：如图所示，竖直平面内的3/4圆弧形光轨道半径为R，A端与圆心O等高，AD为水平面，B点在O的正上方，一个小球在A点正上方由静止释放，自由下落至A点进入圆轨道并恰能到达B点。求：落点C与A点的水平距离． B O A C D

模型三 圆周运动中整体和隔离法的应用

例3：在建筑工地上有一种打夯机，其结构原理如图所示，用一长为l的连杆（质量可忽略）一端固定一质量为m的铁块，另一端固定在电动机的转轴上。铁块m可在竖直平面内做圆周运动，当旋转的角速度达到一定的数值，可使质量为M（不包括铁块质量m）的打夯机离开地面，然后砸向地面，从而起到夯实地基的作用。求电动机的最小角速度。

模型四 生活中的应用

例4：一级方程式（F1）汽车大赛中，冠军舒马赫驾驶着一辆总质量是M （M约1.5吨）的法拉利赛车经过一半径为R的水平弯道时的速度为v．工程师为提高赛车的性能，都将赛车形状设计得使其上下方空气存在一个压力差——气动压力（行业术语），从而增大了赛车对地面的正压力，行业中将正压力与摩擦力的比值称为侧向附着系数，用?表示．为使上述赛车转弯时不致侧滑，则：（1）所需的向心力为多大？（2）所需的摩擦力为多大？（3）所需的气动压力为多大？

随堂练习：

1.质量为M的物质内有光滑的圆形竖直轨道，现有一质量为m的小滑块在该圆形轨道内沿顺时针做圆周运动，A、C分别为圆周的最高点和最低点，B、D点与圆心O在同一条水平线上，小滑块运动时，物体M在水平地面上静止不动。有关物体M对地面的压力N和地面对M的摩擦力的说法正确的是（当地的重力加速度为g）（ ） A．小滑块在A点时，N>Mg，摩擦力方向向左 B．小滑块在B点时，N=Mg，摩擦力方向向右

C．小滑块在C点时，N>（M+m）g，M与地面无摩擦力

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D． 小滑块在D点时，N=（M+m）g，摩擦力方向向左

2.如图所示，细杆的一端与一小球相连，可绕过O的水平轴自由转动。现给小

b 球一初速度，使它做圆周运动。图中a、b分别表示小球轨道的最低点和最高

点，则杆对球作用力可能是（ ）

O A．a处为拉力，b处为拉力 B．a处为拉力，b处为推力 C． a处为推力，b处为拉力 D．a处为推力，b处为推力 a

3.如图所示，一可视为质点的物体质量为m=1kg，在左侧平台上水平抛出，恰能无碰撞地沿圆弧切线从A点进入光滑竖直圆弧轨道，并沿轨道下湍，A、B为圆弧两端点，其连线水平，O为轨道的最低点，已知圆弧半径为R=1.0m，对应圆心角为?=106°，平台与AB连线的高度差为h=0.8m。（重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6）求物体平抛的初速度；

h ?

A O B

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