江苏省高数历年竞赛本一组试题（整理）

2. a= ，b= 时f(x)=ln(1-ax)+于x的无穷小的阶数最高。

3.òsin2xcos4xdx= 0p2x在x?0时关1+bx4.通过点(1,1,-1)与直线x=t,y=2,z=2+t的平面方程为

?nz2x5.设z=2,则n2?yx-y(2,1)= 6.设D为y=x,x=0,y=1围成区域，则蝌arctanydxdy= D7.设G为x2+y2=2x(y 0)上从O(0,0)到A(2,0)的一段弧，则

òG(yex+x)dx+(ex-xy)dy=

￥8.幂级数?nxn的和函数为 ，收敛域为 。

n=1二．（8分）设数列{xn}为x1=3,x2=3-3,L,xn+2=3-3+xn(n=1,2,L)

证明：数列{xn}收敛，并求其极限

三．（8分）设f(x)在[a,b]上具有连续的导数，求证

maxf(x)?1b-aa＃xb蝌f(x)dxabbaf/(x)dx

四．（8分）1）证明曲面S:x=(b+acosq)cosj,y=asinq,z=(b+acosq)sinj

(0＃q2p,0＃j2p)(0

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2）求旋转曲面S所围成立体的体积

五．（10分）函数u(x,y)具有连续的二阶偏导数，算子A定义为

A(u)=x抖u抖x+yuy, 1） 求A(u-A(u))；2)利用结论1）以x=yx,h=x-y为新的自变量改变方程x2抖2u2抖x2+2xyu2x抖y+y2 uy2=0的形式

六．（8分）求1tlim?0+t6蝌tt0dxxsin(xy)2dy

七．（9分）设S:x2+y2+z2=1(z 0)的外侧，连续函数

f(x,y)=2(x-y)2+蝌x(z2+ez)dydz+y(z2+ez)dzdx+(zf(x,y)-2ez)dxdy S求f(x,y)

八．（9分）求f(x)=x2(x-3)(x-1)3(1-3x)的关于x的幂级数展开式

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2006年江苏省高数竞赛（本科一级） 一、填空题（每题5分，共40分） .

1.f?x??ax，limx31ln??f?1?f?2??f?n???? n??n41??tx?22. lim?5e?1dt? x?00x1arctanxdx? 3. ?022?1?x???4.已知点A??4,0,0?,B(0,?2,0),C(0,0,2),O为坐标原点，则四面体OABC的内接球面方程为 5. 设由x?zey?z确定z?z(x,y)，则dz?e,0?? 6.函数f?x,y??e?x?ax?b?y2?中常数a,b满足条件 时，f??1,0?为其极大值.

7.设?是y?asinx(a?0)上从点?0,0?到??,0?的一段曲线，a? 时，曲线积分??x2?y?dx?2xy?eydy取最大值.

2???8.级数???1?n?1?n?1n?1?n条件收敛时，常数p的取值范围是 pn二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于?200公里/小时3

????三.（10分）曲线?的极坐标方程为??1?cos??0????，求该曲线在??所

2?4?对应的点的切线L的直角坐标方程，并求切线L与x轴围成图形的面积.

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四（8分）设f(x)在???,???上是导数连续的有界函数，f?x??f??x??1， 求证：f?x??1.x????,???

五（12分）本科一级考生做：设锥面z2?3x2?3y2(z?0)被平面x?3z?4?0截下的有限部分为?.（1）求曲面?的面积；（2）用薄铁片制作?的模型，

A(2,0,23),B(?1,0,3)为?上的两点，O为原点，将?沿线段OB剪开并展成平

面图形D，以OA方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D的边界的极坐标方程.

?x2?2z六（10分）曲线?绕z轴旋转一周生成的曲面与z?1,z?2所围成的立体

?y?0区域记为?， 本科一级考生做????1dxdydz 222x?y?z本科二级考生做????x2?y2?z2?dxdydz

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