数值计算方法复习

2016计算方法复习

务必通过本提纲例子和书上例子掌握如下书本内容：

1. 会高斯消去法；会矩阵三角分解法；会Cholesky分解的平方根法求解方程组 2. 3. 4. 5. 6. 7.

会用插值基函数；会求Lagrange, 会计算差商和Newton插值多项式和余项 会Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代的分量形式，迭代矩阵，谱半径，收敛性 会写非线性方程根的Newton 迭代格式;斯蒂芬森加速

会用欧拉预报—校正法和经典四阶龙格—库塔法求解初值问题 会最小二乘法多项式拟合

会计算求积公式的代数精度；(复化)梯形公式和(复化)辛普生公式求积分；高斯-勒让德求积公式

第1章、数值计算引论

(一)考核知识点

误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；误差的传播。 (二) 复习要求

1.了解数值分析的研究对象与特点。

2.了解误差来源与分类,会求有效数字; 会简单误差估计。 3.了解误差的定性分析及避免误差危害。 （三）例题

例1. 设x=0.231是精确值x*=0.229的近似值，则x有2位有效数字。 例2. 为了提高数值计算精度, 当正数x充分大时, 应将ln(x?x2?1)改写为

?ln(x?x2?1) 。

例3.

3x*的相对误差约是x*的相对误差的1/3 倍.

第2章、非线性方程的数值解法

(一)考核知识点

对分法；不动点迭代法及其收敛性；收敛速度; 迭代收敛的加速方法；埃特金加速收敛方法；Steffensen斯特芬森迭代法；牛顿法；弦截法。 (二) 复习要求

1.了解求根问题和二分法。

2.了解不动点迭代法和迭代收敛性；了解收敛阶的概念和有关结论。 3.理解掌握加速迭代收敛的埃特金方法和斯蒂芬森方法。 4.掌握牛顿法及其收敛性、下山法, 了解重根情形。 5.了解弦截法。 （三）例题

1.为求方程x3―x2―1=0在区间[1.3,1.6]内的一个根，把方程改写成下列形式，并建立相应的迭代公式，迭代公式不收敛的是( )

x2?(A)

1,迭代公式xk?1?x?11xk?1 (B)

x?1?11,迭代公式x?1?k?12x2xk

(C)

21/3x3?1?x2,迭代公式xk?1?(1?xk)

(D)x?1?x迭代公式

,??(x)??32xk?1?1?2xk2xk?xk?1

x2?解：在(A)中,

故迭代发散。应选择(A)。

1,?(x)?x?11x?111?2(x?1)3/22(1.6?1)3/2=1.076

?可以验证在(B)，(C)， (D)中，?(x)满足?x)?r?1，迭代收敛。

2.用Newton法求方程x?lnx?2在区间(2, ?)内的根, 要求

xk?xk?1xk?10?8。

解 此方程在区间(2, ?)内只有一个根s，而且在区间（2，4）内。设

f(x)?x?lnx?2

则 f'(x)?1?11， f''(x)?

2xxNewton法迭代公式为

xk?1?xk?xk?lnxk?2xk(1?lnxk)?， k?0,1,2,?

1?1/xkxk?1取x0?3，得s?x4?3.146193221。 3．设f(x)可微，求方程x?f(x)根的Newton迭代格式为xk?122xk?f(xk) ?xk??2xk?f(xk)4. 牛顿切线法是用曲线f(x)上的点的切线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解；而弦截法是用曲线f(x)上的；两点的连线与x轴的交点的横坐标逐步逼近f(x)＝0的解.

5. 试确定常数p,q,r使迭代公式

aa2 xk?1?pxk?q2?r5.

xkxk产生的序列{xk}收敛到3a，并使收敛阶尽量高.

aa2解 因为迭代函数为?(x)?px?q2?r5，而x*?3a.根据定理知，要使收敛阶

xx尽量高，应有x*??(x*)，??(x*)?0，???(x*)?0，由此三式即可得到p,q,r所满足的三个方程为：

p?q?r?1，p?2q?5r?0，q?5r?0.

51解之得，p?q?,r??，且????(3a)?0，故迭代公式是三阶收敛的.

99P25.例2-4 P30.例2-6 P33.例2-8 P35例2-10 P35.例2-11

第3章、线性代数方程组的数值解法

(一)考核知识点

高斯消去法，列主元消去法；矩阵三角分解法；平方根法；追赶法；迭代法的基本概念，雅可比迭代法与高斯-塞德尔迭代法，超松弛迭代法SOR，迭代解数列收敛的条件。 (二) 复习要求

1.了解矩阵基础知识，了解向量和矩阵的几种范数。 2.掌握高斯消去法，掌握高斯列主元素消去法。

4.掌握直接三角分解法，平方根法，了解追赶法，了解有关结论。 5.了解矩阵和方程组的性态，会求其条件数。 6.了解迭代法及其收敛性的概念。

7.掌握雅可比(Jacobi)迭代法、高斯-赛德尔(Gauss-Seidel)迭代法和超松弛(SOR)迭代法。 （三）例题

1.分别用顺序Gauss消去法和直接三角分解法(杜利脱尔分解)求解线性方程组

?123??x1??14??252??x???18? ???2?????315????20???x3???解：1) Gauss消去法

14??12314??123?1?25218???01?4?10???0?????????31520???0?5?4?22???014?1?4?10??， 0?24?72??23回代 x3=3, x2=2, x1=1

2) 直接三角分解法(杜利脱尔分解)：

?123??1??1?252???21??0???????315????3?51????03?1?4??=LU 0?24??2解Ly?b，Ux=y得x=(1,2,3)T

2. 用平方根法（Cholesky分解）求解方程组：

?323??x1??5???????220???x2???3? ?3012??x??7????3???解：由系数矩阵的对称正定性，可令A?LLT，其中L为下三角阵。

?23???3???323???333???220???236????????6??3012???33???3?6?? ?3?63????3????????3????y51?求解??236????y1???5??3?33???y???1?2???3?可得?y2??， ?3?63?y3??76??????????y13?3??23?3?33?????求解?6??x1?1?x1????y1????3?6???x??1?2????y?2?可得??x2?2

?3?x???3??y3???1?????x3?33.讨论AX?b的Jacobi迭代和Gauss-Seidel迭代的收敛性

?1?22?其中，A????11?1?b?(1,1,0)T

?21???2????1??1解：Jacobi迭代法的迭代矩阵B????02?2??J??1?(I?A)??101??1????220?

??则?I?BJ??3?0??(BJ)?0?1

?Jacobi迭代收敛

Gauss-Seidel迭代矩阵

?1?1?B?02?2??1??02?2??G?S?????11???01???11??0??02??2?21??????1?02?0??????421??????0????08?2??1??6???