高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解

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高中数学高考总复习立体几何空间向量空间直角坐标系习题及详解

一、选择题

→→→→→→→→

1．已知四边形ABCD满足：AB·BC>0，BC·CD>0，CD·DA>0，DA·AB>0，则该四边形为( )

A．平行四边形 C．平面四边形 [答案] D

ππππ→→[解析] ∵AB·BC>0，∴∠ABC>，同理∠BCD>，∠CDA>，∠DAB>，由内角和定2222理知，四边形ABCD一定不是平面四边形，故选D.

2．如图，点P是单位正方体ABCD－A1B1C1D1中异于A的一个顶→→

点，则AP·AB的值为

( )

A．0 B．1 C．0或1 D．任意实数 [答案] C

→

[解析] AP可为下列7个向量：

→→→→→→→→→→→2→→AB，AC，AD，AA1，AB1，AC1，AD1，其中一个与AB重合，AP·AB＝|AB|＝1；AD，AD1，π→→→→→→→→→AA1与AB垂直，这时AP·AB＝0；AC，AB1与AB的夹角为45°，这时AP·AB＝2×1×cos＝1，

41→→

最后AC1·AB＝3×1×cos∠BAC1＝3×＝1，故选C.

3

3．如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，M为AC与BD的→→→

交点，N为BB1的靠近B的三等分点，若A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝c，→

则MN等于( )

111A．－a＋b＋c

223111B.a＋b－c 223111C.a－b－c 223112D．－a－b＋c

223[答案] C

B．梯形 D．空间四边形

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1→→→→1→

[解析] MN＝MB＋BN＝D1B1＋BB1

231→1→111→

＝(A1B1－A1D1)－A1A＝a－b－c. 23223

→→

4．已知A(2，－5,1)，B(2，－2,4)，C(1，－4,1)，则AC与AB的夹角为( ) A．30° C．60° [答案] C

→→

AB·AC3→→→→

[解析] AB＝(0,3,3)，AC＝(－1,1,0)．设〈AB，AC〉＝θ，则cosθ＝＝＝

→→32·2|AB|·|AC|1

，∴θ＝60°. 2

5．已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a，b，c三向量共面，则实数λ等于( )

62

A. 764

C. 7[答案] D

[解析] ∵a，b，c三向量共面， ∴存在实数m，n使c＝ma＋nb， 即(7,5，λ)＝(2m－n，－m＋4n,3m－2n)， 2m－n＝7??

∴?－m＋4n＝5??λ＝3m－2n

63

B. 765D. 7

B．45° D．90°

65

，∴λ＝. 7

→→→→

6．(2010·山东青岛)在空间四边形ABCD中，AB·CD＋AC·DB→→＋AD·BC的值为( )

A．0 C．1 [答案] A

→→→→→→

[解析] AB·CD＋AC·DB＋AD·BC

→→→→→→→→→＝AB·(BD－BC)＋(BC－BA)·DB＋(BD－BA)·BC

→→→→→→→→→→→→＝AB·BD－AB·BC＋BC·DB－BA·DB＋BD·BC－BA·BC＝0，故选A.

7．△ABC的顶点分别为A(1，－1,2)，B(5，－6,2)，C(1,3，－1)，则AC边上的高BD

B.3

2

D．无法确定

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等于( )

A．5 C．4 [答案] A

→→

[解析] 设AD＝λAC，D(x，y，z)，则(x－1，y＋1，z－2)＝λ(0,4，－3)， ∴x＝1，y＝4λ－1，z＝2－3λ. →

∴BD＝(－4,4λ＋5，－3λ)， →→→又AC＝(0,4，－3)，AC⊥BD， ∴4(4λ＋5)－3(－3λ)＝0， 9124→

－4，，?， ∴λ＝－，∴BD＝?55??5→

∴|BD|＝

9?2?12?2

?－4?2＋??5?＋?5?＝5.

B.41 D．25

→1→

8．已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，AM＝MC，点N为B1B的中点，则线段

2MN的长度为( )

A.C.21 615 6

B.D.6 615 3

[答案] A

→→→→1→

[解析] MN＝AN－AM＝AN－AC

3→→1→→→＝AB＋BN－AB＋AD＋AA1 3

()

2→1→1→＝AB＋AA1－AD. 363→∴MN＝|MN|＝

4→21→21→221|AB|＋|AA1|＋|AD|＝. 93696

→→→

9．设空间四点O、A、B、P满足OP＝OA＋tAB，其中0

→→→→→

[解析] ∵OP＝OA＋tAB，∴AP＝tAB，

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∵0

10．在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1

和BB1的中点，那么直线AM与CN所成角的余弦值等于( )

A.3 2

B.10 10

3C. 52D. 5

[答案] D

→→→→1→→→→→1→

[解析] AM＝AA1＋A1M＝AA1＋AB，CN＝CB＋BN＝－AD＋AA1，

22→→→→1→→1→21→→1

AM·CN＝－AA1·AD－AB·AD＋|AA1|＋AA1·AB＝，

22421→→→→→5

|AM|2＝|AA1|2＋|AB|2＋AA1·AB＝，

4411→→5→→

|CN|2＝|AD|2＋|AA1|2－AD·AA1＝，

424→→

AM·CN2→→

∴cos〈AM，CN〉＝＝，故选D.

→→5|AM|·|CN|二、填空题

11．已知a＝(1,2x－1，－x)，b＝(x＋2,3，－3)，若a∥b，则x＝________. [答案] 1

2x－1－x2x－111

[解析] ∵a∥b，∴＝＝，由＝得，2x2＋3x－5＝0，∴x＝1或

33x＋2－3x＋25

－， 2

由

2x－1－x

＝得x＝1，∴x＝1. 3－3

12．设向量a＝(－1,3,2)，b＝(4，－6,2)，c＝(－3,12，t)，若c＝ma＋nb，则m＋n＝________. [答案]

11

2

[解析] ma＋nb＝(－m＋4n,3m－6n,2m＋2n)， ∴(－m＋4n,3m－6n,2m＋2n)＝(－3,12，t)． －m＋4n＝－3??

∴?3m－6n＝12??2m＋2n＝t

m＝5，

??1，解得?n＝2，??t＝11.

11

∴m＋n＝.

2

13．若|a|＝17，b＝(1,2，－2)，c＝(2,3,6)，且a⊥b，a⊥c，则a＝________. 181181

[答案] (－，2，)或(，－2，－)

5555