南通市2012届二模数学（含附加）

200?12?100．?????????????????4分 B组活动所需时间g(x)?52?x52?x 令f(x)?g(x)，即60?100，解得x?39．

2x52?x所以两组同时开始的植树活动所需时间

?60， x≤19，x?N*，?x ?????????????????????6分 F(x)??*100?，x≥20，x?N.?52?xF(20)?25，故F(19)?F(20)． 而F(19)?60，198 32时，使植树活动持续时间最短．??????8分 所以当A、B两组人数分别为20，150?2?20?15 （2）A组所需时间为1+，??????????????10分 ?36（小时）20?67200?2?32?13 B组所需时间为1?， ?????????????12分 ?32（小时）32?63 所以植树活动所持续的时间为36小时． ?????????????????14分

7：18（1）设直线l的方程为y?k(x?1)，即kx?y?k?0．

因为直线l被圆C2截得的弦长为6，而圆C2的半径为1，

5 4)到l：kx?y?k?0的距离为所以圆心C2(3，4k?4?4．??????????3分

k2?15 化简，得12k2?25k?12?0，解得k?4或k?3．

43 所以直线l的方程为4x?3y?4?0或3x?4y?3?0．?????????????6分 y)，由题意，得CC1?CC2， （2）①证明：设圆心C(x， 即(x?1)2?y2?(x?3)2?(y?4)2． 化简得x?y?3?0，

即动圆圆心C在定直线x?y?3?0上运动．????????????????10分

3?m)， ②圆C过定点，设C(m，则动圆C的半径为1?CC12?1?(m?1)2?(3?m)2．

于是动圆C的方程为(x?m)2?(y?3?m)2?1?(m?1)2?(3?m)2．

9 数学Ⅰ试卷 第 页（共4页）

整理，得x2?y2?6y?2?2m(x?y?1)?0．????????????????14分 ?x?1?32，?x?1?32，x?y?1?0，???22由?2得或 ??233? x?y?6y?2?0，? y?2?2；? y?2?2.?2?2 所以定点的坐标为1?32， 2?32，1?32， 2?32．?????????16分 222219（1）由题意，得f?(x)?1?cosx≥0．

所以函数f(x)?x?sinx在R上单调递增．

设P(x1， y2)，则有 y1)，Q(x2，????y1?y2?0，即kPQ?0． ????????????6分 x1?x2 （2）当a≤0时，f(x)?x?sinx≥0≥axcosx恒成立．???????????????8分 当a?0时，令g(x)?f(x)?axcosx?x?sinx?axcosx， g'(x)?1?cosx?a(cosx?xsinx) ?1?(1?a)cosx?axsinx．

①当1?a≥0，即0?a≤1时，g'(x)?1??1?a?cosx?axsinx?0， 所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．

?2? 所以g(x)≥g(0)?0?sin0?a?0?cos0?0，符合题意． ???????????10分 ②当1?a?0，即a?1时，令h(x)?g'(x)?1?(1?a)cosx?axsinx， 于是h'(x)?(2a?1)sinx?axcosx． 因为a?1，所以2a?1?0，从而h'(x)≥0． 所以h(x)在?0，π?上为单调增函数．

?2? 所以h(0)≤h(x)≤hπ，即2?a≤h(x)≤πa?1，

22亦即2?a≤g'(x)≤πa?1．???????????????????????12分

2（i）当2?a≥0，即1?a≤2时，g'(x)≥0，

所以g(x)在?0，π?上为单调增函数．于是g(x)≥g(0)?0，符合题意．????14分

?2?（ii）当2?a?0，即a?2时，存在x0?0，π，使得

2 x0)时，有g'(x)?0，此时g(x)在(0，x0)上为单调减函数， 当x?(0，????从而g(x)?g(0)?0，不能使g(x)?0恒成立．

综上所述，实数a的取值范围为a≤2．????????????????????16分

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a20（1）由题意，得a2，a4，a6，a8，?成等比数列，且公比q?8a2??13?1， 2 所以a2n?a2qn?1?12??n?4． ????????????????????????4分

（2）证明：由{an}是“J4型”数列，得

a1，a5，a9，a13，a17，a21，?成等比数列，设公比为t. ??????????6分

由{an}是“J3型”数列，得

a1，a4，a7，a10，a13，?成等比数列，设公比为?1； a2，a5，a8，a11，a14，?成等比数列，设公比为?2； a3，a6，a9，a12，a15，?成等比数列，设公比为?3； 则

a13aa??14?t3，17??24?t3，21??34?t3． a1a5a94 所以?1??2??3，不妨记???1??2??3，且t??3． ???????????12分 于是a3k?2?a1?k?1?a1 a3k?1?a5? a3k?a9?k?2??3?(3k?2)?1，

?a1t?2k?2?a1??a1?k?23?a1?a1??3?(3k?1)?1，

k?3?a1t?k?3k?13??3?3k?1，

所以an?a1??3?n?1，故{an}为等比数列．?????????????????16分

?x??x???x???01??x??y??x??y，? 解：设变换T：?????，则????，即??????????5分 ???y??x????10yyyy?x. ????????????? 代入直线y?kx，得x??ky?．

1)代入上式，得k?4．???????????????????????10分 将点P(4，解：将圆??asin?化成普通方程为x?y?ay，整理，得x?y?a2222??2?a． 42 将直线?cos????1化成普通方程为x?y?2?0． ??????????????6分

??a?22?a．解得a?4?22．????????????????? 10分 由题意，得22?? a3?4． ???????????????????????2分 （1）解：由题意，得a2?2，35 数学Ⅰ试卷 第 11 页（共4页）

（2）证明：①当n?1时，由（1），知0?a1?a2，不等式成立．???????????4分

②设当n?k(k?N*)时，0?ak?ak?1成立，???????????????6分

则当n?k?1时，由归纳假设，知ak?1?0． 而ak?2?ak?1?2a?a?1??2ak?ak?1?1?2ak?12ak2(ak?1?ak)??k?1k??0，

ak?1?1ak?1(ak?1?1)(ak?1)(ak?1?1)(ak?1)

所以0?ak?1?ak?2，

即当n?k?1时，不等式成立．

由①②，得不等式0?an?an?1对于任意n?N*成立．??????????10分

（1）设抛物线的标准方程为y2?2px(p?0)， 由题意，得

p?1，即p?2． 2 所以抛物线的标准方程为y2?4x．????????????????????3分 y2)，且y1?0，y2?0． （2）设A(x1， y1)，B(x2，

由y2?4x（y?0），得y?2x，所以y??1．

x 所以切线AC的方程为y?y1?1(x?x1)，即y?y1?2(x?x1)．

y1x1整理，得yy1?2(x?x1)， ① 0)． 且C点坐标为(?x1，同理得切线BD的方程为yy2?2(x?x2)，② 0)． 且D点坐标为(?x2， 由①②消去y，得xM? 又直线AD的方程为y? 直线BC的方程为y?x1y2?x2y1．????????????????????5分

y1?y2y1(x?x2)，③ x1?x2y2(x?x1)． ④ x1?x2x1y2?x2y1．

y1?y2 由③④消去y，得xN? 所以xM?xN，即MN?x轴． ??????????????????????7分

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（3）由题意，设M(1， y0)，代入（1）中的①②，得y0y1?2(1?x1)，y0y2?2(1?x2)．

所以A(x1， y1)， B(x2， y2)都满足方程y0y?2(1?x)．

所以直线AB的方程为y0y?2(1?x)．

0)．????????????????????????10分 故直线AB过定点(?1，

1．答案：2 2． 答案：1 + 2i 3． 答案：2，1 4．答案：0.02 5． 答案：{0，1} 6． 答案：0

7． 答案：29

8. 答案：??π?3，π2?

9．答案：?12，14? 210．答案：?n(n?1)???2??

11.答案：12 12．答案：1?2π 13．答案：1225

14．答案： ?53， 87?

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