人大统计考研专业课笔记

统计之都

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④相关系数检验 a. H0:??0； b. t?rn?21?r2 ~ t(n?2)。

H0⑤t统计量与F统计量的关系

rn?21?r2??1?t?Lxxn?2Lyy?2Lxx1??1Lyy?[??11?2L)]/L(Lyy??1xxxxn?2 ???1SSE/Lxxn?2???1?/Lxx?2

?2L?SSR/1F??12xx?t2?SSE/(n?2)?⑥拟合优度检验

SSR，反映了因变量变异中能用自变量解释的比例，描述了回归SST直线拟合样本观测值的优劣程度；

a.决定系数：r2?b.调整决定系数：当n较小时，r2接近于1，包含虚假成分，可结合n和p对r2进行

调整；

c.拟合优度检验与F检验的比较：F统计量与r2统计量是等价的，但不能相互代替。

F统计量有精确的分布，F检验可在给定显著性水平下给出严格的统计结论；r2统计量没有精确的分布，拟合优度检验得出的结论比较模糊。

(n?2)SSRFSSRSSE???r2 F?n?2(n?2)SSR?n?2SSTSSE

7.残差分析

①残差与随机误差的比较

?i?yi?E(yi)?yi??0??1xi (总体模型误差)????x (样本模型误差)?i?yi??ei?yi?y01i

②残差的性质

?i)?0； a.期望：E(ei)?E(yi?ywww.cos.name

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b.方差

????x)?i)?Var(yi??Var(ei)?Var(yi?y01i1(x?x)(xj?x) ?Var(yi??(?i)yj)nLxxj1(xi?x)21(x?x)(xj?x) ?Var((1??)yi??(?i)yj)nLxxLxxj?in1(xi?x)221(x?x)(xj?x)22 ?(1??)???(?i)?nLxxnLj?ixx22(xi?x)221(xi?x)(xj?x)22 ?(1??)???(?)?nLxxnLjxx22(xi?x)221(xi?x)22 ?(1??)??(?)?nLxxnLxx1(xi?x)22 ?(1??)??(1?hii)?2nLxx

ei21?c. ?ei??ei?0, ?xiei?0, E()??2。

nn?2111E(ei2)?Var(e)?(1?hii)?2??in?2n?2n?2n?2 1(xi?x)2n??(?)nLxx ??2??2n?2)??eE(2i③改进残差

a.标准化残差（半学生化残差）：ZREi?b.学生化残差：SREi?ei； ??ei。

?1?hii?④残差图：诊断模型是否满足基本假定，是否存在异常值，因变量与自变量是否线性

相关，等等。

8.预测与控制

????x~N(???x,h?2)。 ?0?? ①单值预测：y01001000②y0的预测区间（随机变量）

?0~N(0,(1?h00)?2) y0?y

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t??0y0?y?1?h00~t(n?2)

?0?t?/2??1?h00 (y?0?2??)y③E(y0)的置信区间（未知参数）

?0~N(0,h00?2)E(y0)?y?0?t?/2??h00y

④控制

?0?2???y?y?0?2???T2T1?yP{T1?y?T2}?1??

3 多元线性回归

1.多元线性回归模型：y?X???。

2.基本假定：

①解释变量为非随机变量，不存在多重共线性，与随机扰动项不相关。 ②Guass-Markov假定：E(?)?0, Var(?)??2In。 ③正态假定：?~N(0,?2In)。

3.参数估计 ①OLSE

??(X?X)?1X? a. ?y；

?2?SSE/(n?p?1)。 b. ?②MLE

L?(2??2)?n/2exp{?12?2(y?X?)?(y?X?)}nn1lnL??ln(2?)?ln?2?2(y?X?)?(y?X?)

222???(X?X)?1X?y???M?2???M?SSE/n③OLSE的性质

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?)??, E(SSE)??2； a.无偏性：E(?n?p?1SSE?(y?X?)?(y?X?)?(y?X(X?X)?1X?y)(y?X(X?X)?1X?y) ?y?(I?X(X?X)?1X?)y?y(I?H)y ?(X???)?(I?H)(X???)???(I?H)?E(SSE)?E(??(I?H)?)?E(tr(??(I?H)?)) ?E(tr((I?H)???))?tr(E((I?H)???)) ?tr((I?H)E(???))?tr((I?H)?2In) ??2tr(I?H)??2(n?tr(H)) ??2(n?p?1)

?是c??的唯一最小方差线性无b.有效性（Guass-Markov定理）：在G-M条件下，c??偏估计（正态假定下是最小方差无偏估计）；

?)??2(X??,e)?0； c.估计量（协）方差：Var(?X)?1, Cov(??,e)?Cov((X?X)?1X?y,(I?H)y) Cov(? ??(X?X)X?(I?H)?02?1

?~N(?,?2(X?d.正态假定下：?X)?1), SSE/?2~?2(n?p?1)。

4.假设检验

①回归方程显著性检验

a. H0:?1????p?0；

H0SSR/pb. F? ~ F(p,n?p?1)。

SSE/(n?p?1)②回归系数显著性检验 a. H0j:?j?0, j?1,?,p；

b. tj???j?cjj? ~ t(n?p?1), Fj?H0j?SSR(j)/1SSE/(n?p?1)?t ~ F(1,n?p?1)。

2jH0j③拟合优度检验 a.决定系数：R2?b.调整决定系数

SSR； SSTwww.cos.name

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