当前位置：首页 > 电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答
后，在E0的作用下，产生感应电荷，使球面上的电荷密度发生变化，但总电荷q仍保持不变，导体球仍为等位体。
设?(r,?)??0(r,?)??in(r,?)，其中
?0(r,?)??E0z??E0rcos?
是均匀外电场E0的电位，?in(r,?)是导体球上的电荷产生的电位。
电位?(r,?)满足的边界条件为
① r??时，?(r,?)??E0rcos?；
????② r?a时， ?(a,?)?C0，0??dS?q
S?r其中C0为常数，若适当选择?(r,?)的参考点，可使C0?U0。
?2?1由条件①，可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??B1r?C1
3代入条件②，可得到 A1?aE0，B1?aU0，C1?C0?U0 3?2?1若使C0?U0，可得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??aU0r
（2）导体上充电荷Q时，令Q?4??0aU0，有 U0?Q4??0a
3?2利用（1）的结果，得到 ?(r,?)??E0rcos??aE0rcos??Q4??0r 4.14 如题4.14图所示，无限大的介质中外加均匀电场E0?ezE0，在介质中有一个半径为a的球形空腔。求空腔内、外的电场E和空腔表面的极化电荷密度（介质的介电常数为?）。
解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为
外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。设空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和?2(r,?)，则边界条件为
① r??时，?2(r,?)??E0rcos?；
② r?0时，?1(r,?)为有限值； ③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?0由条件①和②，可设
??1????2 ?r?r?1(r,?)??E0rcos??A1rcos?
a ? ?0o z
E0题4.14图
?2(r,?)??E0rcos??A2r?2cos?
带入条件③，有
A1a?A2a?2，??0E0??0A1???E0?2?a?3A2
???0???03A??EA??aE0 由此解得 10，22???02???03??(r,?)??E0rcos? 所以12???0???0a3?2(r,?)??[1?()]E0rcos?
2???0r空腔内、外的电场为
3?E0
2???0(???0)E0a3E?()[er2cos??e?sin?] E2????2(r,?)?02???0rE1????1(r,?)?空腔表面的极化电荷面密度为
?p??n?P2r?a??(???0)er?E2r?a??3?0(???0)E0cos?
2???0偶极子p，球壳上的电荷量为Q。试计算球内、外的电位分布和球壳上的电荷分布。
解 导体球壳将空间分割为内外两个区域，电偶极子p在球壳内表面上引起感应电荷分布，但内表面上的感应电荷总量为零，因此球壳外表面上电荷总量为Q，且均匀分布在外表面上。
球壳外的场可由高斯定理求得为
4.15 如题4.15图所示，空心导体球壳的内、外半径分别为r1和r2，球的中心放置一个电
r1 o p r2 z Q 题 4.15图
4??0r2Q?2(r)?
4??0r外表面上的电荷面密度为
E2(r)?erQ
Q 4?r22设球内的电位为?1(r,?)??p(r,?)??in(r,?)，其中
?2?pcos?p?P1(cos?)
4??0r24??0r2是电偶极子p的电位，?in(r,?)是球壳内表面上的感应电荷的电位。
?in(r,?)满足的边界条件为
① ?in(0,?)为有限值；
?p(r,?)?② ?1(r1,?)??2(r2)，即?in(r1,?)??p(r1,?)??2(r2)，所以
?in(r1,?)?由条件①可知?in(r,?)的通解为
?Q4??0r2?n?0?p4??r201P1(cos?)
?in(r,?)??AnrnPn(cos?)
Q4??0r2?p4??r201n由条件②，有 ?Anr1Pn(cos?)?n?0P1(cos?)
比较两端Pn(cos?)的系数，得到
4??0r134??0r2An?0(n?2)
Qp1r?(r,?)??(?)cos? 最后得到14??0r24??0r2r13??1??1??球壳内表面上的感应电荷面密度为 ?1???0r?r0?n1?r?A0?Q， A1??p，
r?r1??3pcos? 4?r133p2?dS??cos??2?r感应电荷的总量为 q1??11sin?d??0 3??4?r10S4.16 欲在一个半径为a的球上绕线圈使在球内产生均匀场，问线圈应如何绕（即求绕线的
z er
a ? Ho 1 H2
题 4.16图
密度）？
解 设球内的均匀场为H1?ezH0(r?a)，球外的场为H2(r?a)，如题4.16图所示。根据边界条件，球面上的电流面密度为
JS?n?(H2?H1)若令er?H2r?a?er?(H2?ezH0)r?a?
er?H2r?ar?a?e?H0sin?
?0，则得到球面上的电流面密度为 JS?e?H0sin?
这表明球面上的绕线密度正比于sin?，则将在球内产生均匀场。
4.17 一个半径为R的介质球带有均匀极化强度P。
P（1）证明：球内的电场是均匀的，等于?；
?04?R3（2）证明：球外的电场与一个位于球心的偶极子P?产生的电场相同，??。
3解 （1）当介质极化后，在介质中会形成极化电荷分布，本题中所求的电场即为极化电荷所产生的场。由于是均匀极化，介质球体内不存在极化电荷，仅在介质球面上有极化电荷面密度，
z P o R 题 4.17图
球内、外的电位满足拉普拉斯方程，可用分离变量法求解。
建立如题4.17图所示的坐标系，则介质球面上的极化电荷面密度为
?p?P?n?P?er?Pcos?
介质球内、外的电位?1和?2满足的边界条件为
① ?1(0,?)为有限值；
② ?2(r,?)?0(r??)； ③ ?1(R,?)??2(R,?)
?????0(1?2)r?R?Pcos?
?r?r因此，可设球内、外电位的通解为
?1(r,?)?A1rcos?
B1?2(r,?)?2cos?
rB2B1?(A?)?P 由条件③，有 A1R?1，01R2R3
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