电磁场与电磁波课后习题及答案四章习题解答

分界面上，可利用?函数将线电荷ql表示成电荷面密度?(y)?ql?(y?y0)。

电位的边界条件为

y ql d a o x题 4.6图

① ?1(x,0)=?1(x,a)?0

?2(x,0)=?2(x,a)?0 ② ?1(x,y)?0(x??)

?2(x,y)?0(x???) ③ ?1(0,y)??2(0,y)

(??2?x???1?x)qx?0??l??(y?d) 0由条件①和②，可设电位函数的通解为

??xasin(n?y1(x,y)??Ane?n?) (x?0) n?1a??x,y)??Bn?xan?y2(nesin() (x?0)

n?1a由条件③，有

???Ansin(n?y)?Bsin(n?y) n?1a?nn?1a ???An?n?y?n?n?yqnn?1asin(a)??Bnn?1asin(a) ?l??(y?d)0由式（1），可得

An?Bn 将式（2）两边同乘以sin(m?ya)，并从0到a对y积分，有 A2qlan?Bn?n???(y?d)sin(n?y)dy?2qlsin(n?d) 0?0an??0a由式（3）和（4）解得 Aqln?dn?Bn?n??sin(0a) （1） （2） （3）4）

（故 ?1(x,y)?1n?d?n?xan?ysin()esin() (x?0) ???0n?1naaql??2(x,y)?1n?dn?xan?ysin()esin() (x?0) ???0n?1naaql?4.7 如题4.7图所示的矩形导体槽的电位为零，槽中有一与槽平行的线电荷ql。求槽内的

y b ql (x0,y0) o 题4.7图

a x

电位函数。

解 由于在(x0,y0)处有一与z轴平行的线电荷ql，以x?x0为界将场空间分割为

0?x?x0和x0?x?a两个区域，则这两个区域中的电位?1(x,y)和?2(x,y)都满足拉普拉斯

方程。而在x?x0的分界面上，可利用

?函数将线电荷ql表示成电荷面密度

?(y)?ql?(y?y0)，电位的边界条件为

① ?1(0,y)=0，?2(a,y)?0 ② ?1(x,0)=?1(x,b)?0 ?2(x,0)=?2(x,b)?0 ③ ?1(x0,y)??2(x0,y)

(??2??1?)?x?x?x?x0??ql?0?(y?y0)

由条件①和②，可设电位函数的通解为

n?yn?x)sinh() (0?x?x0) bbn?1?n?yn?)sinh[(a?x)] (x0?x?a) ?2(x,y)??Bnsin(bbn?1?1(x,y)??Ansin(由条件③，有

?n?x0n?yn?yn?Ansin()sinh()??Bnsin()sinh[(a?x0)] （1） ?bbbbn?1n?1?n?x0n?n?yAsin()cosh()? ?nbbbn?1?qln?n?yn???(y?y0) （2） Bsin()cosh[(a?x)] ?n0?bbbn?10?由式（1），可得

n?x0n?)?Bnsinh[(a?x0)]?0 （3） bbm?y)，并从0到b对y积分，有 将式（2）两边同乘以sin(b2qlbn?yn?x0n??(y?y)sin()dy? Ancosh()?Bncosh[(a?x0)]?0?0n??bbb02qln?y0sin() （4） n??0bAnsinh(由式（3）和（4）解得 An?2qln?y01n?sinh[(a?x0)]sin()

sinh(n?ab)n??0bb2qln?x0n?y01Bn?sinh()sin()

sinh(n?ab)n??0bb故 ?1(x,y)?1n?sinh[(a?x0)] ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?xn?y?sin()sinh()sin() (0?x?x0)

bbb2ql?n?x01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ab)bn?y0n?n?y?sin()sinh[(a?x)]sin() (x0?x?a)

bbb若以y?y0为界将场空间分割为0?y?y0和y0?y?b两个区域，则可类似地得到

2ql?1n?sinh[(b?y0)] ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?yn?x?sin()sinh()sin() (0?y?y0)

aaa2ql?n?y01?2(x,y)?sinh() ???0n?1nsinh(n?ba)an?x0n?n?x?sin()sinh[(b?y)]sin() (y0?y?b)

aaa4.8 如题4.8图所示，在均匀电场E0?exE0中垂直于电场方向放置一根无限长导体圆柱，圆柱的半径为a。求导体圆柱外的电位?和电场E以及导体表面的感应电荷密度?。

解 在外电场E0作用下，导体表面产生感应电荷，圆柱外的电位是外电场E0的电位?0与感应电荷的电位?in的叠加。由于导体圆柱为无限长，所以电位与变量z无关。在圆柱面坐标系

?1(x,y)?2ql?中，外电场的电位为?0(r,?)??E0x?C??E0rcos??C（常数C的值由参考点确定），而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，而且在无限远处为0。由于导体是等位体，所以?(r,?)满足的边界条件为

y E0 a o x

题4.8图

① ?(a,?)?C

② ?(r,?)??E0rcos??C(r??)

?1由此可设 ?(r,?)??E0rcos??A1rcos??C

?1由条件①，有 ?E0acos??A1acos??C?C

2于是得到 A1?aE0 故圆柱外的电位为

?(r,?)?(?r?a2r?1)E0cos??C

若选择导体圆柱表面为电位参考点，即?(a,?)?0，则C?0。

导体圆柱外的电场则为

22??1??aaE????(r,?)??er?e???er(1?2)E0cos??e?(?1?2)E0sin?

?rr??rr??(r,?)导体圆柱表面的电荷面密度为 ????0r?a?2?0E0cos?

?r4.9 在介电常数为?的无限大的介质中，沿z轴方向开一个半径为a的圆柱形空腔。沿x轴方向外加一均匀电场E0?exE0，求空腔内和空腔外的电位函数。

解 在电场E0的作用下，介质产生极化，空腔表面形成极化电荷，空腔内、外的电场E为外加电场E0与极化电荷的电场Ep的叠加。外电场的电位为?0(r,?)??E0x??E0rcos?而感应电荷的电位?in(r,?)应与?0(r,?)一样按cos?变化，则空腔内、外的电位分别为?1(r,?)和

?2(r,?)的边界条件为

① r??时，?2(r,?)??E0rcos?； ② r?0时，?1(r,?)为有限值；

??1????2 ③ r?a时， ?1(a,?)??2(a,?)，?0?r?r由条件①和②，可设

?1(r,?)??E0rcos??A1rcos? (r?a)

?2(r,?)??E0rcos??A2r?1cos? (r?a)

带入条件③，有 A1a?A2a，??0E0??0A1???E0??aA2 由此解得 A1???1?2???0???02E0， A2??aE0 ???0???0