计算教学中的创新思维培养汇总 - 图文

计算教学中的创新思维培养资料

两个问题情境都需要学生自己构建算式，但侧重的基础和培养的能力不一样。一个是乘法中较为基础的等组情境，但因为需要空间观念而增加了思考性，另一个乘法中的倍数比较，把计算建立在图形合与分的基础上。

在乘、除法的学习中，对倍数概念进行正向和逆向的应用，可以培养学生的推理能力。推理是人们获得新知的重要手段。任何推理都由两部分组成，一部分是推理所依据的已知判断，即前提；另一部分是推出新的判断，即结论。根据前提与结论不同的联系方式，可以设计出不同形式和不同层次的乘法推理。如

1.一对多的推理。

每份量（1条裙子）联系着已知条件（前提）与所求问题（结论），根据条件与问题之间的直接联系构建乘法算式。在学生发展的一定时候，可逐步抽象化，以图形推算的形式呈现，并用逻辑联结词联系条件与问题。如，

2.三段推理。

如果■＝★×4

★＝▲×9

那么■＝□个▲。

由两个条件作为前提，根据两个条件之间的联系，构建新的条件（结论）。 3.对应推理

根据每份对应量的差不变，感知“每份量的差×份数＝总数差”的数量关系。掌握这种数量关系，可以解决较复杂的问题，如下面的差对应

问题：

4.关系推理。

已知▲×●＝24

如果▲-●＝5，那么▲+▲+●＝□ 如果▲-●＝2，那么▲+▲+●＝□

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根据数与数、式与式之间的关系，推算出图形表示的数。 有些数学问题之所以复杂，是因为解决问题所需要的条件不是直接知道的，或者说被隐蔽起来了。解题的关键是发现条件之间的关联并推导新条件，这往往需要推理能力的支持。即使是较简单的数学问题，这种能力也可能是解题的关键。如归一问题，

解题时需要根据已知条件构建出一个新的条件，即每个正方形表示21÷3＝7。

总之，乘、除法的学习，不只是掌握运算技能，还要通过丰富多变的练习，培养学生的思维能力，特别是要重视运用抽象的推理解决问题。

带余除法

整数a除以整数b，如果除尽，则余数为0,称为整除。如果除不尽，余数不为0,就称为带余除法。

带余除法不仅是多位数除法的重要基础，而且联系着“周期性”等数学问题，甚至许多数论中的一些问题也与带余除法有关。带余除法的学习，深化了学生对除法意义的理解，极大地丰富了除法的应用背景。学生在运用带余除法解决较复杂的问题当中，判断、分析和推理等诸多数学能力得到发展。

一、带余除法的意义理解与新课教学 带余除法早期的学习经验，来源于生活中对物体不能正好分成等组。如7个苹果不能正好分给两个小朋友，使每人一样多。在学习带余除法之前，这种经验被用于学习平均分的概念。如让学生通过具体的操作活动，认识平分一些物体，会出现两种情况，一是正好分成等组的几份，二是按等组分成几份之后还有剩余，这与学生的生活经验是一致的。之后，学生在学习乘加时，通过圈点子的活动构建乘加的算式，进一步丰富带余除法学习之前的经验积累。

带余除法不论是算理，还是求商和书写格式上都比表内除法复杂。带余除法教学的重点是意义理解，学习的难点是求商，这些都联系着“余数要比除数小”的规律。教学时，要通过具体的操作活动，让学生理解带余除法的意义，并通过不同层级的抽象，帮助学生建立“余数要比除数小”的观念。新课教学可以分为两个阶段：

第一阶段，横式计算，理解算式的意义。

带余除法的横式包括被除数、除数、商和余数，与具体的操作活动相联系，每个数在操作活动中都有明确的意义。如被除数是物体的总数，除数是每份数，商是份数，余数是分了之后剩余的数量。让学生通过具体的操作活动，不仅可以理解算式表示的意义，认识余数的真实存在，而且通过把操作活动与算式联系起来思考，增进对带余除法意义的理解。如，

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带余除法的学习，是建立在理解除法意义的基础上的。根据已有的知识基础，上面的问题情境可以直译成20÷6＝□的算式，至于结果是多少，通过具体的操作活动来解决。对余下2个球的讨论包含两个方面：一是它表示的意义是什么？二是如何在算式中表示出来？前者侧重于这2个球能不能单独装一盒，后者侧重于这个“2”在算式中是否可以不写出来。需要强调的是，对这些问题的讨论并不是多余的，通过对这些问题的讨论，打破了学生原有的“认知平衡”是建立“余数要比除数小”的观念起点。

在构建了带余除法的算式之后，再回到具体的情境中，寻找算式的意义。也就说，操作活动的情境在这里起到了双重作用，一是引出带余除法的算式，二是帮助理解算式的意义。不过，意义的理解需要通过不断丰富的活动逐步清晰和完善，如大家来圈点子，要求每份一样多，通过圈点子活动，构建带余除法算式。

23和19都是素数，不能写成两个因数相乘的积。因此，无论把几个圈作一份，都会出现剩余。以23为例，每份数与余数如下表： 每份数 余 数 2 1 3 2 4 3 5 3 6 5 7 2 8 7 9 5 10 3 … … 在各种圈法的比较中，获得余数虽然变化无常，但都比除数小的感性认识。进一步，通过把乘加式改写成带余除式，加深对“余数必须小于除数”的理解。如

这个环节教学的核心，是沟通新旧知识的联系，在实物操作与算式表达之间建立对应。具体地说，如果把圈点子、乘加算式、带余除式看作三角形的3个顶点，学生在这些顶点之间来回穿梭和转译的过程中，完成从实物操作到算式表示的水平数学化，从乘加到带余除式的垂直数学化。

脱离具体的问题情境，乘加式子中的加数与两个乘数比较，有三种情况：一是加数分别小于两个乘数，可以改写成两个带余除式；二是加数小于其中一个乘数，只能改写成一个带余除式；三是加数分别大于两个乘数，不能改写成带余除式。进一步，可以通过改写算式的活动，把学生的思维再次聚焦于除数与余数的比较上。如，你能把乘加式子改写成带余除法

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计算教学中的创新思维培养资料 式子吗？

4×6+2＝26 7×4+3＝31 5×3+4＝19 3×4+5＝17

根据上面的式子想像圈点子的图，每个算式都有两种图的表示，如5×3+4＝19，可以理解为每份5个，圈了3份还余4个，这种情况可以用带余除法表示，但如果是每份3个，圈成5份还余4个，由于余下个数比每份个数还要多，还可以再分，这种情况就不能用带余除法表示。从算式返回到实物，为算式寻找意义，获得对余数要比除数小的理性理解。

第二阶段，竖式计算，掌握试商方法。 计算除法的关键是试商。表内除法的商可直接从九九表中找到口诀，而带余除法求商时，不能直接从九九表中找到，求商的过程比表内除法复杂得多，试商时需要把除数与商相乘，再与被除数作比较，并思考余数与余数的大小关系。

回到带余除法的原型，本质上就是把物体平分，最多可以分成几份，这个思考过程也可以用不等式表示，如4×□＜39, □里最大能填几？在实际的教学中，这样的思考常常作为带余除法试商的阶梯。但是，应当注意这种训练只是试商中的技巧，或者说突破了试商中的关键思考，更为重要的是需要理解试商的意义究竟是什么。因此，回到具体情境中理解仍然是必要的。如

39÷4＝9（堆）……3（个）

与横式相比，竖式计算的过程中会产生“冗余的数”，如上式中的“36”。这个数在操作活动中不象其它数那样明确意义，一般留存在计算的思考过程中。但事实上对它的理解仍然是重要的。在具体情境中，它是被用来分到每份中的总数，在试商过程中，它是乘法口诀的积。

需要强调的是，无论是带余除法的意义还是试商，教学都不能止于形式化的模仿，而应当深入到意义的理解。而意义的获得，有赖于在操作活动、横式表示、竖式求商之间建立联系与对应。不仅如此，学生对于“余数必须比除数小”的理解也应当经历从感性到理性的抽象过程。

二、带余除法掌握水平的能力评定

如何评定学生的数学能力？如何结合具体知识点评价学生的能力发展水平？特别是如何把学生知识掌握与能力发展水平评价应用于改进教学？这些问题都是数学教育评价需要认真研究的问题。作为对这些问题的思考与实践，2010年1月，我们对使用浙教版《数学》的2409名学生进行了“带余除法”掌握水平的调查。调查分知识掌握程度检测和数学能力水平检测两项，这里重点介绍能力测试与评价。

联系不同的知识基础和数学能力，我们设计了如下测试题。

1.下列各题中，被除数最大是几？最小是几？

□÷8＝6…□ □÷9＝7…□ □÷8＝6…□ □÷9＝7…□

解答此题的能力核心是对“余数要比除数小”规律的灵活运用。 2.每组被除数相同，而且是两位数。被除数和商分别填几？

□÷3＝□…2 □÷6＝□…3

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