2019年上海高考·高三数学 第一轮复习

高三“三角函数”专题的复习分析与指导

一、“三角函数”专题内容分析

（一）“三角函数”专题知识体系的梳理 1、地位与价值

在教学中，三角函数是描述周期现象的重要数学模型，它具有十分重要的地位，由于其思考性、方法性、技巧性和目的性都较强，对于提高学生数学素养，培养学生思维能力都有很重要的作用。从三角函数的起源来看，三角函数起源于生活中的天文学，被广泛应用于解决航海通商问题，此后在自动控制、电子领域、工程领域等都有重要意义。从历年高考的情况来看，三角恒等变换、三角函数的图像和性质、正余弦定理与解三角形等都是高考的热点问题，并常与其他交汇以解答题的形式考查，难度适中。 2、知识网络图 3、核心知识

①研究三角函数的概念、图像和性质，其突出特征是具有周期性的函数，尤其是正、余弦函数具有边界和零点；难点是函数f?x??Asin??x???+k的图像变换，落实“五点法”画图技能.

fmax?x??fmin?x?fmax?x??fmin?x? ；k的确定：k=；

222?? ?的确定：T????0? ；?的确定：初始角=?，与平移单位有关.

A的确定：A=??②三角恒等变换的综合应用，主要应用于两个方面：一是化简函数与三角函数的性质相结合；二是解三角形与正弦定理和余弦定理结合在平面几何图形中求解相关的几何量，解三角形就是有条件的恒等变换.

（二）“三角函数”专题中研究的核心问题 1、问题类型

①三角函数的图像和性质综合问题，常涉及三角恒等变换、图像变换、周期性、单调性、对称性和最值等；

②解三角形问题，只要涉及两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式、正弦定理和余弦定理等； ③三角函数性质与解三角形的综合问题，其本质是解决有条件的三角恒等变换问题，因此注意角的范围对变形过程的影响. 2、问题研究与解决

①三角函数求值与化简的常用方法：

弦切互化：包括“切割化弦”、“齐次式化切”等； 和积互化：包括“平方关系”、“降幂公式”

和利用?sinx?cosx??1?2sinxcosx 进行变形转化；

巧用“1”的变换：1?sin??cos??sec??tan??tan②转化为与三角函数有关的基本类型：

22222?4?......

y?asinx?b 设t?sinx，t???1,1? 转化为一次函数；

y?asinx?bcosx?c 借助辅助角公式转化为y?a2?b2sin(x??)?c； y?asin2x?bsinx?c 设t?sinx，t???1,1? 转化为二次函数（闭区间内）；

?y?asinxcosx?b(sinx?cosx)?c 设t?sinx?cosx，t????2,2?

t2?1则sinxcosx=?，转化为二次函数；

21

y?atanx?bcotx，设t?tanx，当ab?0时可用均值定理；

③函数f?x??Asin??x???的奇偶性、对称性及图像变换

对称轴一定经过图像的最高点或最低点，对称中心一定与函数零点有关；

由f?x??sinx的图像通过变换得到f?x??Asin??x???的图像有两种途径：“先平移后伸缩”或“先伸缩后平移”，可用“五点法”作为突破口.

④通过三角恒等变换解决三角求值问题，做到三变：“变角——变名——变式” 给角求值：关键是转化成特殊角或消去非特殊角； 给值求值：现变同角再求值；

给值求角：转化为“给值求值”，注意角的范围. ⑤利用正、余弦定理解三角形的两种途径：

“化边为角”通过三角恒等变换得出三角形内角之间的关系； “化角为边”通过解方程求边；

都要注意三角函数值的符号与角的范围，防止出现增解、漏解.

（三）“三角函数”专题蕴含的核心观点、思想和方法 1、学生学习三角函数的主要困难 2、三角函数知识的核心观点

张景中院士认为，在数学课程中三角函数至关重要，它是几何与代数的一座桥梁，沟通初等数学与高等数学的一条通道，函数、向量、坐标、复数等许多重要数学知识与三角有关，大量实际问题的解决要用到三角知识.

① 强调三角函数中的函数思想，三角函数已经不仅仅是解三角形的工具，而是一个重要的函数模型； ② 数形结合解决三角函数的图形变换；

③ 加强三角函数的应用意识，特别是用于解三角形问题. 3、核心思想方法与核心技能

“三种思想”+“三个技能”：

函数与方程的思想、化归与转化的思想、数形结合思想；

运算技能：对三角函数解析式的恒等变形以及转化为y?Asin(?x??)型函数的运算，正余弦定理公式的合理选择和化简运算等；

作图技能：根据任务需求绘制相应要求精度的三角函数图象，五点法画图等；

推理技能：依据三角函数解析式的结构进行推理判断运算方向，以及对三角形形状的判断.

二、“三角函数”高考的典型考题结构

（一）近年北京高考题中三角函数考查的内容 年份 2015 2016 2017 理科 第12题：三角形中三角函数 第15题：正弦型函数性质（周期、最值） 文科 第11题：解三角形 第15题：正弦型函数性质 第7题：三角函数的图像和性质（最值） 第13题：三角形中正弦定理 第15题：三角形中余弦定理、三角恒等变换 第16题：三角恒等变换、正弦型函数的性质 第12题：两角差的三角函数（余弦）值 第15题：三角形中正弦定理、求面积 第11题：正弦型函数性质（周期、最值） 第15题：三角形中正弦定理、求面积 第9题：诱导公式求值、三角函数化简 第16题：正弦型函数性质（周期、值域） 第7题：判断三角函数值的符号 第14题：解三角形（求角、边的比例） 第15题：正弦型函数性质（周期、最值） 2018 试题特点：试题总体比较平稳，不管是位置还是考查的知识点和难度都是比较稳定的，高考降低了复杂的三角恒等变形公式的考查，回归到双基和通性通法的考查上，文科基本小题考解三角形，大题就

2

是用三角公式变形为正弦型函数，再讨论它的性质（特殊值、周期、值域）。理科大题除2015年涉及正弦型函数的性质，2016、2017、2018年考查解三角形，小题都是研究三角函数的性质，突出基础知识的落实与考查。

（二）2016-2018全国高考中三角函数考查的内容 年份 卷别 考查角度及命题位置 命题分析及学科素养 利用正、余弦定理解三命题分析：三角变换及解三角形是高考考查的热点，然Ⅰ卷 角形·T17 而单独考查三角变换的题目较少，题目往往以解三角形为背景，在应用正弦定理、余弦定理的同时，经常应用二倍角公式应用及余Ⅱ卷 2018 三角变换进行化简，综合性比较强，但难度不大． 弦定理解三角形·T6 学科素养：三角变换及解三角形在学生能力考查中主要三角变换求值·T4 考查逻辑推理及数学运算两大素养，通过三角恒等变换Ⅲ卷 解三角形·T9 及正、余弦定理来求解相关问题. （三）典型考题举例

考点一：三角恒等变换 1．sin 18°·sin 78°－cos 162°·cos 78°＝ （ D ）

3131

A．－ B．－ C. D. 2222

1

2．若sin α＝，则cos 2α＝ ( B )

38778A． B． C．－ D．－ 9999

sin θ＋cos θ

3．已知tan θ＝2，则＋sin2θ的值为 ( C )

sin θ

19162317A. B. C. D. 551010

310ππ

4．已知α∈(0，)，tan α＝2，则cos(α－)＝________.

24105. 已知sin??2cos??A．

10，则tan2?? （ C ） 24334 B．? C． D．? 34431, 36.在平面直角坐标系xOy中, 角?与角?均以Ox为始边, 它们的终边关于y轴对称. 若sin??则cos(???)? ________.?7 9考点二：三角函数的图像及其应用

1. （2014北京高考文16）函数f(x)?3sin(2x??6)的部分图象如图所示. ??7??,y0?3? 6?(1) 写出 f(x) 的最小正周期及图中 x0?y0 的值; ?x0?(2) 求 f(x) 在区间 [??2???12] 上的最大值和最小值. f?x?max?0,f?x?min??2

3

2. （2018海淀二模理15）如图, 已知函数f(x)?Asin(?x??)(A?0???0?????的图象经过B(?2)在一个周期内

?25??0), C(??0), D(?2)三点. 6312(1) 写出A, ?,

???的值; ?A?2,??2,?????

?3?(2) 若??(5?2??), 且f(?)?1, 求cos2?的值. 123?3????2?? ??3. （2018高考北京文 16）已知函数f(x)?sin2x?3sinxcosx. (1) 求f(x)的最小正周期; ?T=?? (2) 若f(x)在区间[??3??m]上的最大值为, 求m的最小值. mmin? 3234、（2016北京文16）已知函数f（x）=2sin ωx cos ωx+ cos 2ωx（ω>0）的最小正周期为π.

（Ⅰ）求ω的值；（??1） （Ⅱ）求f（x）的单调递增区间. ?k????3???,k????k?Z? 88?考点三：解三角形的基本问题及应用

1.△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知sin B＋sin A(sin C－cos C)＝0，a＝2， c＝2，则C＝ ( B ) ππππA. B. C. D. 12643

C5

2. 在△ABC中，cos＝，BC＝1，AC＝5，则AB＝ ( A )

25

A．42 B.30 C.29 D．25

3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，cos 2A＝sin A，bc＝2，则△ABC的 面积为 ( A )

11

A． B． C．1 D．2

24

1

4．在△ABC中，∠ACB＝60°，BC>1，AC＝AB＋，当△ABC的周长最短时，

2

?2?BC的长是________．?1+??? 2??考点四：解三角形的综合问题

1. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin?A?C??8sin2（Ⅰ）求cosB；?cosB=（Ⅱ）若a?cB 2??15? ?17??6，△ABC的面积为2，求b.?b?2?

2. 在锐角△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且4sin Acos2A－3cos(B＋C)＝sin 3A＋3.

4