2020高考数学复习第二章函数与基本初等函数题组层级快练7函数的奇偶性与周期性文(含解析)

题组层级快练(七)

1．(2019·合肥质检)下列函数中，既是偶函数，又在(0，＋∞)上单调递增的函数是( ) A．y＝x C．y＝－x＋1 答案 B

解析 因为y＝x是奇函数，y＝|x|＋1，y＝－x＋1，y＝2误；又因为y＝－x＋1，y＝2

2

－|x|

3

2

－|x|

23

B．y＝|x|＋1 D．y＝2

－|x|

均为偶函数，所以选项A错

1|x|

＝()在(0，＋∞)上均为减函数，只有y＝|x|＋1在(0，2

＋∞)上为增函数，所以C，D两项错误，只有选项B正确． 9

2．函数f(x)＝x＋(x≠0)是( )

xA．奇函数，且在(0，3)上是增函数 C．偶函数，且在(0，3)上是增函数 答案 B

解析 因为f(－x)＝－x＋

999＝－(x＋)＝－f(x)，所以函数f(x)＝x＋为奇函数．当x1，－xxx

B．奇函数，且在(0，3)上是减函数 D．偶函数，且在(0，3)上是减函数

99x1x2－9

x2∈(0，3)(x1

x1x2x1x2x1x2－9

x1x2>0，x1x2<9，所以(x1－x2)>0，所以f(x1)>f(x2)，所以函数f(x)在(0，3)上是减

x1x2函数，故选B.

3．若函数f(x)＝ax＋bx＋8(a≠0)是偶函数，则g(x)＝2ax＋bx＋9x是( ) A．奇函数 C．非奇非偶函数 答案 A

解析 由于f(x)＝ax＋bx＋8(a≠0)是偶函数，所以b＝0，所以g(x)＝2ax＋9x(a≠0)，所以g(－x)＝2a(－x)＋9(－x)＝－(2ax＋9x)＝－g(x)，所以g(x)＝2ax＋9x是奇函数．故选A.

4．已知f(x)为奇函数，当x>0，f(x)＝x(1＋x)，那么x<0，f(x)等于( ) A．－x(1－x) C．－x(1＋x) 答案 B

解析 当x<0时，则－x>0，∴f(－x)＝(－x)(1－x)．又f(－x)＝－f(x)，∴f(x)＝x(1－x)．

5．函数f(x)是定义域为R的偶函数，又是以2为周期的周期函数，若f(x)在[－1，0]上是

B．x(1－x) D．x(1＋x)

3

3

3

2

3

2

3

2

B．偶函数 D．既奇又偶函数

减函数，则f(x)在[2，3]上是( ) A．增函数 C．先增后减的函数 答案 A

6．(2019·山东临沭一中月考)已知定义在R上的函数f(x)的满足f(－x)＝－f(x)，f(3－x)＝f(x)，则f(2 019)＝( ) A．－3 C．1 答案 B

解析 用－x换x，可将f(x＋3)＝f(－x)＝－f(x)， ∴T＝6，∴f(2 019)＝f(336×6＋3)＝f(3)． ∵f(3－x)＝f(x)，∴f(3)＝f(0)＝0.

7．若定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，且f(1)＝8，则f(2 015)，f(2 016)，f(2 017)的大小关系是( ) A．f(2 015)f(2 015)>f(2 017) 答案 A

解析 因为定义在R上的奇函数f(x)满足对任意的x∈R，都有f(x＋2)＝－f(x)成立，所以f(x＋4)＝f(x)，即函数f(x)的周期为4，且f(0)＝0，f(2)＝－f(0)＝0，f(3)＝－f(1)＝－8，所以f(2 015)＝f(4×503＋3)＝f(3)＝－8，f(2 016)＝f(4×504)＝f(0)＝0，f(2 017)＝f(4×504＋1)＝f(1)＝8，即f(2 015)

8．已知定义在R上的函数f(x)满足：y＝f(x－1)的图像关于(1，0)点对称，且当x≥0时31x

恒有f(x－)＝f(x＋)，当x∈[0，2)时，f(x)＝e－1，则f(2 016)＋f(－2 015)＝( )

22A．1－e C．－1－e 答案 A

3

解析 y＝f(x－1)的图像关于(1，0)点对称，则f(x)关于原点对称．当x≥0时恒有f(x－)

21

＝f(x＋)，即函数f(x)的周期为2.所以f(2 016)＋f(－2 015)＝f(0)－f(1)＝1－e.故选

2A.

9．(2019·安徽合肥一模)已知函数f(x)＝(x－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝( ) A．4

B．2

2

B．减函数 D．先减后增的函数

B．0 D．3

B．f(2 015)>f(2 016)>f(2 017) D．f(2 016)

B．e－1 D．e＋1

C．1 答案 A

D．0

解析 设t＝x－1，则f(x)＝(x－2x)sin(x－1)＋x＋1＝(t－1)sint＋t＋2，t∈[－2，2]．记g(t)＝(t－1)sint＋t＋2，则函数y＝g(t)－2＝(t－1)sint＋t是奇函数．由已知得y＝g(t)－2的最大值为M－2，最小值为m－2，所以M－2＋(m－2)＝0，即M＋m＝4.故选A.

10．(2019·北京大兴期末)给出下列函数：

－x＋2，x>1，?x???2，x>0，

①f(x)＝sinx；②f(x)＝tanx；③f(x)＝?x，－1≤x≤1，④f(x)＝?－x则它们共

?－2，x<0.???－x－2，x<－1；同具有的性质是( ) A．周期性 C．奇函数 答案 C

解析 f(x)＝sinx为奇函数，周期为2π且有最大值； f(x)＝tanx为奇函数且周期为π，但无最大值；

－x＋2，x>1，??

作出f(x)＝?x，－1≤x≤1，的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大

??－x－2，x<－1值；

??2，x>0，

作出f(x)＝?－x的图像(图略)，由图像可知此函数为奇函数但无周期性和最大值．

?－2，x<0?

x

2

2

22

B．偶函数 D．无最大值

所以这些函数共同具有的性质是奇函数．

??2x－3，x>0，

11．如果函数g(x)＝?是奇函数，那么f(x)＝________．

?f（x），x<0?

答案 2x＋3

解析 令x<0，所以－x>0，g(－x)＝－2x－3.因为g(x)是奇函数，所以g(x)＝－g(－x)＝2x＋3，所以f(x)＝2x＋3.

12．已知y＝f(x)＋x是奇函数，且f(1)＝1.若g(x)＝f(x)＋2，则g(－1)＝________． 答案 －1

解析 令H(x)＝f(x)＋x，则H(1)＋H(－1)＝f(－1)＋1＋f(1)＋1＝0，∴f(－1)＝－3，∴g(－1)＝f(－1)＋2＝－1.

1

13．(1)若f(x)＝x＋a是奇函数，则a＝________．

2－1

2

2

x＋2－a

(2)(2019·成都一诊)已知函数f(x)＝4是奇函数，则实数a的值为________．

x＋3(3)(2015·课标全国Ⅰ)若函数f(x)＝xln(x＋a＋x)为偶函数，则a＝________． (4)若函数f(x)＝x－|x＋a|为偶函数，则实数a＝________． 1

答案 (1) (2)2 (3)1 (4)0

2

111

解析 (1)依题意得f(1)＋f(－1)＝0，由此得1＋a＋－1＋a＝0，解得a＝.

2－12－12(2)方法一：因为函数f(x)为奇函数，所以f(0)＝0，即2－a＝0，解得a＝2.

x＋2－a－x＋2－a

方法二：因为函数f(x)为奇函数，所以f(x)＋f(－x)＝0，即4＋＝0，即4

x＋3x＋3x＋2－a－x＋2－a＝0，解得a＝2.

(3)由已知得f(－x)＝f(x)，即－xln(a＋x－x)＝xln(x＋a＋x)，则ln(x＋a＋x)＋ln(a＋x－x)＝0，∴ln[(a＋x)－x]＝0，得lna＝0，∴a＝1.

(4)∵f(x)是偶函数，∴f(－x)＝f(x)，即|x－a|＝|x＋a|，两边平方得4ax＝0.∴a＝0.故填0.

14．已知函数f(x)＝x＋x，对任意的m∈[－2，2]，f(mx－2)＋f(x)<0恒成立，则x的取值范围为________． 2

答案 (－2，)

3

解析 易知原函数在R上单调递增，且为奇函数，故f(mx－2)＋f(x)<0?f(mx－2)<－f(x)＝f(－x)，此时应有mx－2<－x?mx＋x－2<0对所有m∈[－2，2]恒成立．

??g（－2）<0，

令g(m)＝xm＋x－2，此时只需?即可，

?g（2）<0?

3

2

22

2

2222

2

2

解得－2

15．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，且f(1)＝0，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为________．

答案 {x|－1

解析 ∵f(－x)＝－f(x)，∴不等式x[f(x)－f(－x)]<0可化简为xf(x)<0，又f(1)＝0，∴f(－1)＝0，∵奇函数f(x)在(0，＋∞)上是增函数，从而函数f(x)的大致图像如图所示，则不等式x[f(x)－f(－x)]<0的解集为{x|－1