2020年九年级数学中考三轮冲刺复习：《四边形综合训练》（含解析）

又∵∠AFH＝∠DFG， ∴△AFH∽△DFG， ∴

＝

，

又∵∠AFD＝∠HFG， ∴△ADF∽△HGF， ∴∠ADF＝∠FGH， ∵∠ADF＝90°， ∴∠FGH＝90°， ∴AG⊥GH．

5．已知四边形ABCD中，AB⊥AD，BC⊥CD，AB＝BC，∠ABC＝120°，∠MBN＝60°，将∠MBN绕点B旋转，它的两边分别交边AD、DC（或它们的延长线）于点E、F． （1）当∠MBN绕点B旋转到AE＝CF时（如图1）， ①求证：△ABE≌△CBF； ②求证：AE+CF＝EF；

（2）当∠MBN绕点B旋转到如图2所示的位置时，AE≠CF，此时，（1）中的两个结论是否还成立？请直接回答．

（1）①证明；∵AB⊥AD，BC⊥CD， ∴∠A＝∠BCF＝90°， 在△ABE和△CBF中，∴△ABE≌△CBF（SAS）；

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，

②证明：∵△ABE≌△CBF， ∴BE＝BF，∠ABE＝∠CBF， ∵∠MBN＝60°，

∴△BEF是等边三角形．∠ABE＝∠CBF＝（∠ABC﹣∠MBN）＝（120°﹣60°）＝30°．

∴BE＝BF＝EF，AE＝BE，CF＝BF， ∴AE+CF＝BE+BF＝EF；

（2）解：①△ABE≌△CBF不成立；②AE+CF＝EF成立，理由如下： ∵AE≠CF，

∴△ABE≌△CBF不成立

延长DC至点K，使CK＝AE，连接BK，如图2所示： 在△BAE与△BCK中，，

∴△BAE≌△BCK（SAS）， ∴BE＝BK，∠ABE＝∠CBK， ∵∠FBE＝60°，∠ABC＝120°， ∴∠FBC+∠ABE＝60°， ∴∠FBC+∠CBK＝60°， ∴∠KBF＝∠FBE＝60°， 在△KBF与△EBF中，，

∴△KBF≌△EBF（SAS）， ∴KF＝EF，

∴AE+CF＝KC+CF＝KF＝EF．

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6．已知：如图①，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，AE⊥BD，垂足是E．点F是点E关于AB的对称点，连接AF、BF．

（1）求AF和BE的长；

（2）若将△ABF沿着射线BD方向平移，设平移的距离为m（平移距离指点B沿BD方 向所经过的线段长度）．当点F分别平移到线段AB、AD上时，直接写出相应的m的值．（3）如图②，将△ABF绕点B顺时针旋转一个角α（0°＜α＜180°），记旋转中的△ABF为△A′BF′，在旋转过程中，设A′F′所在的直线与直线AD交于点P，与直线BD交于点Q．是否存在这样的P、Q两点，使△DPQ为等腰三角形？若存在，求出此时DQ的长；若不存在，请说明理由．

解：（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BAD＝90°，

在Rt△ABD中，AB＝3，AD＝4， 由勾股定理得：BD＝

∵S△ABD＝BD?AE＝AB?AD， ∴AE＝

＝

＝

，

＝

＝5，

∵点F是点E关于AB的对称点， ∴AF＝AE＝∵AE⊥BD，

，BF＝BE，

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∴∠AEB＝90°，

在Rt△ABE中，AB＝3，AE＝， 由勾股定理得：BE＝

＝

＝．

（2）设平移中的三角形为△A′B′F′，如图①﹣1所示：

由对称点性质可知，∠1＝∠2．BF＝BE＝，

由平移性质可知，AB∥A′B′，∠4＝∠1，BF＝B′F′＝． ①当点F′落在AB上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠3＝∠4， ∴∠3＝∠2，

∴BB′＝B′F′＝，即m＝； ②当点F′落在AD上时， ∵AB∥A′B′， ∴∠6＝∠2，

∵∠1＝∠2，∠5＝∠1， ∴∠5＝∠6， 又易知A′B′⊥AD， ∴△B′F′D为等腰三角形， ∴B′D＝B′F′＝， ∴BB′＝BD﹣B′D＝5﹣＝，即m＝．

（3）存在．理由如下：

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