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（1）证明：如图1，在OC上截取OK＝OE．连接EK，

∵OC＝OA，∠COA＝∠BA0＝90°，∠OEK＝∠OKE＝45°， ∵AP为正方形OCBA的外角平分线， ∴∠BAP＝45°，

∴∠EKC＝∠PAE＝135°， ∴CK＝EA， ∵EC⊥EP，

∴∠CEF＝∠COE＝90°，

∴∠CEO+∠KCE＝90°，∠CEO+∠PEA＝90°， ∴∠KCE＝∠CEA， 在△CKE和△EAP中，

，

∴△CKE≌△EAP（ASA）， ∴EC＝EP；

（2）①解：y轴上存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形．如图2，过点B作BM∥PE交y轴于点M，连接BP，EM，

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则∠CQB＝∠CEP＝90°， 所以∠OCE＝∠CBQ， ∵在△BCM和△COE中， ∵

，

∴△BCM≌△COE（ASA）， ∴BM＝CE， ∵CE＝EP， ∴BM＝EP． ∵BM∥EP，

∴四边形BMEP是平行四边形， ∵△BCM≌△COE， ∴CM＝OE＝3， ∴OM＝CO﹣CM＝2． 故点M的坐标为（0，2）．

②如图3，存在点Q使四边形CEPQ是正方形，

过点Q作QH⊥y轴于点Q，则∠QHC＝∠COE＝90°，∴∠HQC+∠HCQ＝90°，

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∵∠QCE＝90°， ∴∠HCQ+∠ECO＝90°， ∴∠ECO＝∠CHQ， ∵四边形CEPQ是正方形， ∴CQ＝EC，

∴△HCQ≌△OEC（AAS）， ∴HC＝OE＝2，HQ＝OC＝5， 则HO＝7，

∴点Q的坐标为（5，7）．

4．如图，正方形ABCD中，E为BC边上任意点，AF平分∠EAD，交CD于点F． （1）如图1，若点F恰好为CD中点，求证：AE＝BE+2CE； （2）在（1）的条件下，求

的值；

（3）如图2，延长AF交BC的延长线于点G，延长AE交DC的延长线于点H，连接HG，当CG＝DF时，求证：HG⊥AG．

解：（1）如图1，延长BC交AF的延长线于点G，

∵AD∥CG，

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∴∠DAF＝∠G， 又∵AF平分∠DAE， ∴∠DAF＝∠EAF， ∴∠G＝∠EAF， ∴EA＝EG，

∵点F为CD的中点， ∴CF＝DF，

又∵∠DFA＝∠CFG，∠FAD＝∠G， ∴△ADF≌△GCF（AAS）， ∴AD＝CG， ∴CG＝BC＝BE+CE，

∴EG＝BE+CE+CE＝BE＝2CE＝AE；

（2）设CE＝a，BE＝b，则AE＝2a+b，AB＝a+b，

在Rt△ABE中，AB2+BE2＝AE2，即（a+b）2+b2＝（2a+b）2，解得b＝3a，b＝﹣a（舍）， ∴＝

＝；

（3）如图2，连接DG，

∵CG＝DF，DC＝DA，∠ADF＝∠DCG， ∴△ADF≌△DCG（SAS）， ∴∠CDG＝∠DAF， ∴∠HAF＝∠FDG，

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