2020年九年级数学中考三轮冲刺复习：《四边形综合训练》（含解析）

20．如图1，在三角形△ABC中，BA＝BC，△ADC和△ABC关于AC对称

（1）将图1中的△ACD以A为旋转中心，逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到如 图2所示的△AC′D，分别延长BC和DC′交于点E，则四边形ACEC′的形状是 菱形 ；（2）将图1中的△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝2∠BAC，得到如图3所示的△AC′D，连接DB和CC′，得到四边形BCC′D，请判断四边形BCC′D的形状，并说明理由； BC＝（3）如图3中，

AC＝10，，将△AC′D沿着射线DB方向平移a，得到△A′C″D′，

進接BD′，CC″，使四边形BCC″D′恰好为正方形，请直接写出a的值．

解：（1）∵△△ADC和△△ABC关于AC对称，

∴DC＝BC，DA＝AB，∠BAC＝∠DAC，∠BCA＝∠DCA， ∵BA＝BC，

∴DC＝BC＝DA＝AB，∠BAC＝∠DAC＝∠BCA＝∠DCA，

∵△ACD以A为旋转中心，按逆时针方向旋转角α，使α＝∠BAC，得到△AC′D， ∴∠CAC′＝∠BAC＝∠AC′D＝∠BCA， ∴AC∥DE，AC′∥BE， ∴四边形ACEC′是平行四边形，

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由旋转可得：AC＝AC′， ∴四边形ACEC′是菱形， 故答案为：菱形；

（2）四边形BCC′D是矩形；理由如下：过点A作AE⊥C′C于点E，如图3所示： 由旋转的性质，得AC′＝AC，

∴∠CAE＝∠C′AE＝α＝∠ABC，∠AEC＝90°， ∵BA＝BC， ∴∠BCA＝∠BAC ∴∠CAE＝∠BCA， ∴AE∥BC． 同理，AE∥DC′， ∴BC∥DC′， ∵BC＝DC′，

∴四边形BCC′D是平行四边形， ∵AE∥BC，∠AEC′＝90°， ∴∠BCC′＝90°， ∴四边形BCC′D是矩形； （3）过点B作BF⊥AC于F， ∵BA＝BC，

∴CF＝AF＝AC＝×10＝5， 在Rt△BCF中，BF＝10，

∵∠CAE＝∠BCF，∠CEA＝∠BFC＝90°， ∴△ACE∽△CBF， ∴＝， 即

＝

， 解得：EC＝4

，

∵AC＝AC′，AE⊥CC′， ∴CC′＝2CE＝2×

4＝8

，

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