2020年九年级数学中考三轮冲刺复习：《四边形综合训练》(含解析)

解：（1）

∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD， ∴∠ACD＝∠BAC，

由折叠知，∠BAC＝∠B'AC， ∴∠B'AC＝∠DAC， ∴AM＝CM

∴△MAC是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形； （2）菱形，

理由：如图3，连接AE，CF，设EF与AC的交点为M，

由折叠知，∠AME＝∠CME＝90°，AM＝CM， ∴AE＝CE，AF＝CF， ∵四边形ABCD是矩形，

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∴EC∥AF，

∴∠ECM＝∠FAM，∠CEM＝∠AFM， ∴△ECM≌△FAM（AAS）， ∴EC＝FA，

∴AE＝EC＝FC＝FA，

∴以点A，F，C，E为顶点的四边形是菱形； （3）∵AD＝8cm，AB＝6cm， ∴BD＝

＝10cm

由（1）可知BG＝GD， ∵BG2＝AB2+AG2， ∴BG2＝36+（8﹣BG）2， ∴BG＝

cm

∴AG＝cm

由折叠的性质可得AM＝MD＝4cm，EM⊥AD ∵∠BAD＝∠BC'D＝90°，∠AGB＝∠C'GD ∴∠ABG＝∠C'DG，且∠BAG＝∠EMD＝90°∴△ABG∽△EMD ∴

∴

∴EM＝cm 故答案为：

17．某研究性学习小组在探究矩形的折纸问题时，将一块直角三角板的直角顶点绕矩形ABCD（AB＜BC）的对角线的交点O旋转（①→②→③），图中的M、N分别为直角三角形的直角边与矩形ABCD的边CD、BC的交点．

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（1）该学习小组成员意外的发现图①中（三角板一边与OC重合），BN、CN、CD这三CN2＝BN2+CD2，条线段之间存在一定的数量关系：请你对这名成员在图①中发现的结论说明理由；

（2）在图③中（三角板一直角边与OD重合），试探究图③中BN、CN、CD这三条线段之间的数量关系，直接写出你的结论．

（3）试探究图②中BN、CN、CM、DM这四条线段之间的数量关系，写出你的结论，并说明理由．

（1）证明：连结AN，

∵矩形ABCD

∴AO＝CO，∠ABN＝90°，AB＝CD， ∵ON⊥AC， ∴NA＝NC， ∵∠ABN＝90°， ∴NA2＝BN2+AB2， ∴CN2＝BN2+CD2．

（2）如图2，连接DN．

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∵四边形ABCD是矩形， ∴BO＝DO，∠DCN＝90°， ∵ON⊥BD， ∴NB＝ND， ∵∠DCN＝90°， ∴ND2＝NC2+CD2， ∴BN2＝NC2+CD2．

（3）CM2+CN2＝DM2+BN2 理由如下：延长MO交AB于E，

∵矩形ABCD，

∴BO＝DO，∠ABC＝∠DCB＝90°，AB∥CD，∴∠ABO＝∠CDO，∠BEO＝∠DMO， ∴△BEO≌△DMO（AAS）， ∴OE＝OM，BE＝DM， ∵NO⊥EM， ∴NE＝NM，

∵∠ABC＝∠DCB＝90°，

∴NE2＝BE2+BN2，NM2＝CN2+CM2， ∴CN2+CM2＝BE2+BN2 ，

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