2005-B5

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习题二十九 全微分方程、可降阶的高阶微分方程

一、判别下列方程中哪些是全微分方程，并求全微分方程的通解： 1、(3x?6xy)dx?(6xy?4y)dy?0；

2、(xcosy?cosx)y??ysinx?siny?0。

二、利用观察法求下列方程的积分因子，并求解： 1、xdx?ydy?(x?y)dx；

222222129

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2、2ydx?3xydx?xdy?0； 2

三、求下列方程的通解： 1、y???x?sinx；

2、y???y??x；

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3、yy???1?0。

四、求方程的特解： 1、y???ay??0,

2、xy???xy??y??0,

223yx?0?0,y?x?0??1；

yx?2?0,y?x?2?1。 2131

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五、试求y???x的经过点M(0,1)且在此点与直线y?x?1相切的积分曲线。 2

六、设y?y(x)是一向上凸的连续曲线，其上任意一点(x,y)处的曲率为

11?(y?)2，且此曲线上点(0,1)处的切线方程为y?x?1，求该曲线的方程，

并求函数y?y(x)的极值。

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