第十九章 含参量积分

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特别地 ,

ⅲ> 令

即

, 有

=

,

.

=

,

,

ⅳ> 令

, 可得

.

ⅴ> 三、

函数和

函数的关系:

函数和 ,

,

函数之间有关系式

.

以下只就 和 取正整数值的情况给予证明. 和二重无穷积分的换序.

证 反复应用 函数的递推公式, 有

而

和 取正实数值时, 证明用到

函数的变形

,

.

特别地,

.

余元公式——

且 或 时, 由于

, 就有

函数与三角函数的关系： 对

.

，有

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该公式的证明可参阅: Фихтенгалъц , 微积分学教程 Vol 2 第3分册, 利用余元公式, 只要编制出时 的函数表, 再利用三角函数表, 即可对

值.

四、利用Euler积分计算积分:

例3 利用余元公式计算

解

.

, 查表求得

的近似

,

.

例4 求积分

解 令

, 有

.

I

.

例5 计算积分 .

解

,

该积分收敛 . ( 亦可不进行判敛 ,把该积分化为

函数在其定义域内的值 , 即判得其收敛 . ) I

.

例6

其中 V :

, 求积分

, .

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解

.

而

因此 , 五、作业

.

.

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