第十九章 含参量积分

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第十九章 含参量积分

【教学目的】

1.掌握含参量正常积分的概念、性质及其计算方法；

2.掌握两种含参量反常积分的概念、性质及其计算方法； 3.掌握欧拉积分的形式及有关计算

【教学重点】含参量积分的性质及含参量反常积分的一致收敛性的判定 【教学难点】一致收敛性的判定 【教学时数】12学时

§1含参量正常积分

一、含参量积分的定义 以实例

定义含参量积分

和

引入.

和

.

含参量积分提供了表达函数的又一手段 .我们称由含参量积分表达的函数为含参量积分. 二、含参量积分的解析性质 1. 含参量积分的连续性 Th19.5 若函数

在

Th19.8 若函数 上连续 , 则函数

2. 含参量积分的可微性及其应用 Th 19.10 若函数

在

在矩形域

上连续 , 则函数

上连续 . ( 证 ) P172 在矩形域

在

上连续, 函数

上连续. ( 证 ) P173

和

在

及其偏导数

上可导 , 且

都在矩形域

上连续, 则函数

.

( 即积分和求导次序可换 ) . ( 证 ) P174 Th 19.11 设函数 定义在 上可微 , 且

, 值域在

及其偏导数

都在矩形域

上连续,函数

在

和

上 , 且可微 , 则含参量积分

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例1 计算积分 例2 设函数

在点

. P176. 的某邻域内连续 . 验证当

. ( 证 )P174

充分小时 , 函数

的

阶导数存在 , 且 . P177.

三、作业

§2 含参量反常积分

一、含参量无穷积分: 1. 含参量无穷积分 函数

定义在

. 上 (

可以是无穷区间 ) . 以

为例介绍含参量无穷积分表示的函数

2. 含参量无穷积分的一致收敛性 逐点收敛( 或称点态收敛 ) 的定义: 引出一致收敛问题 .

定义 (一致收敛性 ) 设函数 使

一致收敛.

对

,

.

, 使

定义在

成立, 则称含参量无穷积分

上 . 若对

在

,

( 关于 )

Th 19.5 ( Cauchy收敛准则 ) 积分

对

在

上一致收敛, 成立 .

例1 证明含参量非正常积分

内非一致收敛

在

上一致收敛 , 其中

. 但在区间

3. 含参量无穷积分与函数项级数的关系:

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Th 19.6 积分

↗

, 函数项级数

在

上一致收敛, 对任一数列 ,

在

上一致收敛. ( 证略 )

二、含参量无穷积分一致收敛判别法 1. Weierstrass M 判别法 设有函数

则积分

, 使在在

一致收敛.

在

内一致收敛. P182

上有

. 若积分

,

例2 证明含参量无穷积分

2. Dirichlet判别法和Abel判别法

三、含参量无穷积分的解析性质

含参量无穷积分的解析性质实指由其所表达的函数的解析性质. 1. 连续性: 积分号下取极限定理. Th 19.7 设函数 上一致收敛, 则函数

在

在

上连续 . 若积分

上连续. ( 化为级数进行证明或直接证明 )

, 有

在

推论 在Th.7的条件下 , 对

2. 可微性: 积分号下求导定理. Th 19.8 设函数 上收敛, 积分

.

3. 可积性: 积分换序定理. Th 19.9 设函数 上一致收敛, 则函数

例3 计算积分 四、含参量瑕积分简介 五、作业

P186

在

在

上可积 , 且有

.

上连续. 若积分

在

和

在 在

上连续. 若积分

一致收敛. 则函数

在

上可微,且

在

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§3 Euler积分

本节介绍用含参广义积分表达的两个特殊函数 , 即 积分计算等方面, 它们是很有用的两个特殊函数.

一、Gamma函数

—— Euler第二型积分

和 . 它们统称为Euler积分. 在

1. Gamma函数: 考虑无穷限含参量积分 当 性 .

:

时为正常积分 .

时,

时积分

判得积分发散 ). 因此,

:

敛.

综上 , 了

时积分

收敛 . 称该积分为Euler第二型积分. Euler第二型积分定义

时积分

收敛 .

对

.利用非负函数积的Cauchy判别法, 注意到

收敛 . (易见

时, 仍用Cauchy判别法

时, 点

,

来讨论其敛散

还是该积分的瑕点 . 因此我们把该积分分为

R成立,.因此积分

对

R收

内的一个函数, 称该函数为Gamma函数, 记为 , 即

=

, .

函数是一个很有用的特殊函数 . 2.

函数的连续性和可导性 在区间

内非一致收敛 . 这是因为 内收敛, 但在点

时积分发散. 这里利用了下面的结果: 若

内非一致收敛。但 一致收敛 . 因为

,

在区间

在时, , 而上

含参广义积分在 区间 对积分

积分

发散, 则积分在

上 , 收敛.对积分

积分

内闭一致收敛 .即在任何 , 有

, 而积分

收敛. 由M—判法, 它们都一致收敛,

一致收敛 .作类似地讨论, 可得积分

如下结论:

也在区间

内闭一致收敛. 于是可得

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