人教版高中物理必修2第五章曲线运动向心加速度典型例题分析(含解析)

人教版高中物理必修2第五章曲线运动

第六节向心加速度典型例题分析

知识点1 速度变化量

(1) 速度变化量是指运动的物体在一段时间内的末速度与初速度之差/

(2) 速度变化量是矢量.因为速度是矢量,有大小,有方向，故末速度与初速度之差也有大小和方向。例如，小球向正东方向做直线运动，初速度为v1=5m/s,10s后末速度变为v2=10m/s,方向向西。取正东为正方向，则有: Δv=v2-v1=(-10m/s)-5m/s=-15m/s

即速度变化量的大小为15m/s,它的方向是向西. (3)用矢量图表示速度变化量

① 作法:从同一点作出物体在一段时间的始末两个速度矢量v1和v2,从初速度矢量v1的末端作一个矢量Δv至末速度矢量v2的末端，所作的矢量Δv就等于速度的变化量. ② 直线运动中的速度变化量:

如果速度是增加的,它的变化量与初速度方向相同(图甲);如果速度是减小的，其速度变化量就与初速度的方向相反(图乙). v△v 乙

△甲v

v

③ 曲线运动中的速度变化量:

物体沿曲线运动时,初末速度v1和v2不在同一直线上,速度的变化量Δv同样可以用上述方法求得.例如，物体沿曲线由A向B运动,在A,B两点的速度分别为v1,v2(如图1).在此过程中速度的变化量如图2所示.

可以这样理解:物体由A运动到B时,速度获得一个增量Δv,因此v1与Δv的矢量和即为v2.我们知道，求力F1和F2的合力F时,可以以F1和F2为邻边作平行四边形，则F1和F2

所夹的对角线就表示合力F.与次类似，以v1和Δv为邻边作平行四边形,两者所夹的对角线就是v1和Δv的矢量和,即v2.如图3所示.因为AB与CD平行且相等,故可以把v1, Δv,v2放在同一个三角形中，就得到如图2所示的情形.这种方法叫矢量的三角形法.

D vvv△ Cv Av vB△A图 B图图 [例1]物体做匀速圆周运动的速度大小为v,则该物体从A运动到B转过90°角过程中，速度变化的大小为 ,方向为 .

v

△αAvB

A

[思路分析]做A,B两点的速度矢量,并将B的速度矢量移到A点，如图所示,则Δv为速度变化，由RtΔ得: Δv=2v Δv与A点速度方向夹角α=135°斜向上方.

[答案] 2v 速度变化的方向与A点速度方向成135°角斜向上方.

[方法总结]速度矢量变化量Δv=v末-v初,用作图法求Δv的方法:从同一点作出初,末速度矢量(不在同一点的,平移至同一点),从 v初矢量末端至v末矢量末端作有向线段Δv, Δv即速度的变化量.

[变式训练1]如图所示,设支点沿半径为r的圆周做匀速云周运动，在某时刻t位于A点，速度为vA,经过很短时间Δt运动到B点，速度为vB,做图求出速度改变量Δv=vA-vB

A

v

B△

v Ov △

v[答案]

[知识点]向心加速度

(1)探究向心加速度的大小和方向

做匀速圆周运动的物体，其速度的大小(速率)不变,方向不断改变,所以加速度a没有与v同方向的分量，它只是反映了速度v方向的不断改变.

如图甲所示,设质点沿半径为r的圆周做匀速圆周运动，在某时刻t位于A点，速度为vA,经过很短的时间Δt,运动到B点，速度为vB,把速度矢量vA和vB的始端移至一点，求出速度矢量的改变量Δv=vB - vA,如图乙所示.

A vv △△B△ vv 乙

甲

比值Δv/Δt是质点在Δt时间内的平均加速度，方向与Δv方向相同，当Δt足够短,或者说Δt趋近于零时, Δv/Δt就表示出质点在A点的瞬时加速度，在图乙所示矢量三角形中，vA和vB大小相等,当Δt趋近于零时, Δφ也趋近于零, Δv的方向趋近于跟vA垂直而指向圆心，这就是说，做匀速圆周运动的质点

在任一点的瞬时加速度方向都沿半径指向圆心.

图乙中的矢量三角形与图甲的三角形ΔOAB是相似形,用v表示vA和vB的大小，用Δl表示弦AB的长度，则有:

Δv/v =Δl/r 或 Δv=Δlv/r

用Δt除上式得

Δv/Δt=(Δl/Δt)·(v/r)

当Δt趋近于零时, Δv/Δt表示向心加速度a的大小, Δl/Δt表示线速度的大小v,于是得到 a = v2/r

这就是向心加速度的公式，再由v=rω得 a=rω2=vω (2)向心加速度

① 定义:做匀速圆周运动的物体,加速度指向圆心，这个加速度称为向心加速度。

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② 大小:an= v/r或 an=rω

方向:总是沿半径指向圆心，即方向始终于运动方向垂直.

注意:①an方向时刻改变，不论大小是否变化，所以圆周运动是变加速运动. ② ω相同，a∝1/r

③ 向心加速度描述的是速度方向变化的快慢.

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④ 向心加速度a=v/r是在匀速圆周运动中推导出来的,对非匀速圆周运动同样适用,只要将公式中的速度v改为瞬时速度即可. ⑤ 利用v=rω,向心加速度公式可写成a=ωv.

⑥ 利用ω=2π/T,向心加速度公式可写成a=(2π/T)2R. [例2]关于向心加速度，下面说法正确的是( )

A. 向心加速度是描述线速度变化的物理量

B. 向心加速度只改变线速度的方向，不改变线速度的大小 C. 向心加速度大小恒定，方向时刻改变

D.向心加速度的大小也可用a=(vt-v0)/t来计算

思路分析 加速度是描述速度变化快慢的物理量，向心加速度是描述线速度方向快慢的物理量,因此A错,B对.只有匀速圆周运动的向心加速度大小恒定,C错.公式a=(vt-v0)/t适用于匀变速运动,圆周运动是变速运动,D错. 答案 B

[方法总结] 向心加速度是矢量,方向始终指向圆心.

[变式训练] 物体做半径为R的匀速圆周运动，它的向心加速度，角速度，线速度和周期分别为a,ω,v和T.下列关系正确的是( ) A. ω=

aR B、v?aR C、a=vω D、T?2? Ra[答案]ABCD

[难点精析1]圆周运动中的速度和加速度

[例3]关于匀速圆周运动，下列说法中正确的是( ) A. 匀速圆周运动是匀速运动

B. 匀速圆周运动是匀变速曲线运动 C. 物体做匀速圆周运动是变速曲线运动 D. 做匀速圆周运动的物体必处于平衡状态

[思路分析]做匀速圆周运动的速度和加速度大小不变,方向时刻在变,因此匀速圆周运动不是匀速运动，也不是匀变速运动,选项A,B错，做匀速圆周运动物体

的合外力即向心力,提供向心加速度，当然物体不是处于平衡状态，选项D错 [答案] C

[方法总结] 速度和加速度均是矢量,矢量的变化不仅考虑大小的变化，还要考虑方向的变化，匀速圆周运动应该理解为匀速率圆周运动.

[变式训练3]如右图所示,圆轨道AB是在竖直平面内的1/4圆周，在B点轨道的切线是水平的,一质点自A点从静止开始下滑,不计摩擦和空气阻力,则在质点刚要到达B点时的加速度大小为 ,滑过B点时的加速度大小为 . A

B

[答案] 2g g [难点精析2]

[例4]关于质点做匀速圆周运动的说法正确的是( ) A. 由a= v2/r知a与r成反比

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B. 由a= rω知a与r成正比 C. 由ω=v/r知ω与r成反比

D. 由ω=2πn知 ω与转速n成正比 [思路分析]由a= v2/r,只有在v一定时,a才与r成反比，如v不一定，a与r不一定成反比.同理,只有当ω一定,a才与r成正比；v一定时,ω与r成正比.因2π是定值,故ω与n成正比. [答案] D

[方法总结]①公式a= v2/r = rω2=(2π/T)2R中有三个量时,在某一个量不变时,剩余的两个量的关系才能明确.即在v一定时a与r成反比,在ω一定时,a与r成正比.

②公式ω=v/r在v一定时,ω与r成反比. ω=2πn知, ω与转速n成正比. [变式训练4]如图所示,A,B两点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象，其中A为双曲线的一个分支,由图可知 ( ) A.A物体运动的线速度大小不变 AaB.A物体运动的角速度大小不变 BC.B物体运动的角速度大小不变 D.B物体运动的线速度大小不变 [答案] A C

Or[难点精析3]传动装置中物理量的联系

[例5]如图为一皮带传动装置，右轮的半径为r,a是它边缘上的一点，左侧是一轮轴,大轮半径为4r,小轮半径为2r,b点在小轮上,到小轮中心距离为r,c点和d点分别位于小轮和大轮的边缘上，若在传动过程中，皮带不打滑,则 ( ) A.a点与b点线速度大小相等 B.a点与c点

C.a点与d点向心加速度大小相等 E. a,b,c,d四点中,加速度最小的是b点 d4 rba

c

2r