人教A版高中文科数学总复习练习第九章解析几何课时规范练

课时规范练40 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

基础巩固组

1.(2018甘肃武威二模,1)把直线x-y+√3-1=0绕点(1,√3)逆时针旋转15°后,所得直线l的方程是( ) A.y=-√3x B.y=√3x C.x-√3y+2=0 D.x+√3y-2=0 2.直线l的方程为Ax+By+C=0,若直线l过原点和第二、四象限,则( ) A.C=0,B>0 B.A>0,B>0,C=0 C.AB<0,C=0 D.AB>0,C=0

3.设直线ax+by+c=0的倾斜角为α,且sin α+cos α=0,则a,b满足( ) A.a+b=1 B.a-b=1 C.a+b=0 D.a-b=0

4.(2018宁夏育才中学四模,6)过点A(1,2),且与原点距离最大的直线方程是( ) A.2x+y-4=0 B.x-2y+3=0 C.x+3y-7=0 D.x+2y-5=0

5.经过点P(1,4)的直线在两坐标轴上的截距都是正的,且截距之和最小,则直线的方程为( ) A.x+2y-6=0 B.2x+y-6=0 C.x-2y+7=0 D.x-2y-7=0

6.已知点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+m=0的两侧,则( ) A.m<-7或m>24 B.-7

7.在等腰三角形MON中,|MO|=|MN|,点O(0,0),M(-1,3),点N在x轴的负半轴上,则直线MN的方程为( )

A.3x-y-6=0 B.3x+y+6=0 C.3x-y+6=0 D.3x+y-6=0

8.一条直线经过点A(2,-√3),并且它的倾斜角等于直线y=x的倾斜角的2倍,则这条直线的一般式方程是 .

9.(2018陕西黄陵中学期中,14)不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点 . 10.直线l过点(-2,2)且与x轴、y轴分别交于点(a,0),(0,b),若|a|=|b|,则直线l的方程为 . 11.若ab>0,且A(a,0),B(0,b),C(-2,-2)三点共线,则ab的最小值为 . 12.根据所给条件求直线的方程: (1)直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为

√101√310;

(2)直线过点P(4,1),且在两坐标轴上的截距相等; (3)直线过点(5,10),到原点的距离为5.

综合提升组

13.(2018重庆一中期中,6)已知直线方程为cos 300°x+sin 300°y=3,则直线的倾斜角为( ) A.60° B.60°或300° C.30° D.30°或330°

14.(2018河南适应性考试,4)已知函数f(x)=ex在点(0,f(0))处的切线为l,动点(a,b)在直线l上,则2a+2-b的最小值是( ) A.4 B.2 C.2√2 D.√2 15.设m∈R,过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P(x,y),则|PA|·|PB|的最大值是 .

16.已知直线l过点M(1,1),且与x轴、y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.当|MA|2+|MB|2取得最小值时,则直线l的方程为 .

创新应用组

17.(2018陕西西安八校一联,11)曲线y=x3上一点B处的切线l交x轴于点A,△OAB(O为原点)是以A为顶点的等腰三角形,则切线l的倾斜角为( ) A.30° B.45° C.60° D.120°

18.(2018天津耀华中学2017~2018学年高二上学期中,14)过点P(2,1)作直线l分别交x轴、y轴的正半轴于A,B两点,则使|PA|·|PB|的值最小时直线l的方程为 .

课时规范练40 直线的倾斜角、斜率与直线的方程

1.B 已知直线的斜率为1,则其倾斜角为45°,绕点逆时针旋转15°后,得到的直线l的倾斜角α=45°+15°=60°,直线l的斜率为tan α=tan 60°=√3,∴直线l的方程为y-√3=√3(x-1),即y=√3x. 2.D 由题意,化直线l的方程为斜截式方程y=-x+-且-??=0,所以AB>0,C=0,故选D. 3.D 由sin α+cos α=0,得

1

??

sin??

=-1,即cos??

????

????

????

,因为直线过原点和第二、四象限,所以-<0,

????

????

tan α=-1.又因为tan α=-,所以-=-1.即a-b=0,故应选D.

1

4.D 过点A(1,2),且与原点距离最大的直线即为过点A且与OA垂直的直线.kOA=2,利用垂直的条件,可以求直线的斜率为-2,所以直线方程为y-2=-2(x-1),整理得x+2y-5=0.故选D.

5.B 解法一:直线过点P(1,4),代入选项,排除A,D,又在两坐标轴上的截距均为正,排除C.

解法二:设所求直线方程为+=1(a>0,b>0),将(1,4)代入得+=1, a+b=(a+b)

14+????

??

??

????

1??

4??

??4??+????

=5+

≥9,

??

??

当且仅当b=2a,即a=3,b=6时等号成立,此时截距之和最小,所以直线方程为+=1,即2x+y-6=0.

366.B 因为点(3,1)和点(-4,6)在直线3x-2y+m=0的两侧,所以(3×3-2×1+m)[3×(-4)-2×6+??]<0,即(m+7)(m-24)<0,解得-7

7.C 因为|MO|=|MN|,所以直线MN的斜率与直线MO的斜率互为相反数,所以kMN=-kMO=3,所以直线MN的方程为y-3=3(x+1),即3x-y+6=0.故选C. 8.√3x-y-3√3=0 因为直线y=x的倾斜角为,

1√3π

所以所求直线的倾斜角为3,

π

即斜率k=tan 3=√3.

π6

又该直线过点A(2,-√3),故所求直线为y-(-√3)=√3(x-2), 即√3x-y-3√3=0. 9.(9,-4) ∵直线方程为(m-1)x+(2m-1)y=m-5,

∴直线方程可化为(x+2y-1)m+(-x-y+5)=0.

∵不论m为何值,直线(m-1)x+(2m-1)y=m-5恒过定点,

??+2??-1=0,??=9,

∴{ ??=-4.-??-??+5=0,

10.x+y=0或x-y+4=0 若a=b=0,则直线l过(0,0)与(-2,2)两点,直线l的斜率k=-1,直线l的方程为y=-x,即x+y=0.

∴{

若a≠0,b≠0,则直线l的方程为+=1,

-22+

由题意知{????

??????????=-4,=1,

解得{

??=4,|??|=|??|,

此时,直线l的方程为x-y+4=0.故直线l的方程为x+y=0或x-y+4=0.

11.16 根据A(a,0),B(0,b)确定直线的方程为??+??=1,又C(-2,-2)在该直线上,故??+??=1,所以-2(a+b)=ab.又ab>0,故a<0,b<0.根据基本不等式ab=-2(a+b)≥4√????,从而√????≤0(舍去)或√????≥4,故ab≥16,当且仅当a=b=-4时等号成立.即ab的最小值为16. 12.解 (1)由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.

设倾斜角为α,则sin α=10(0<α<π), 从而cos α=±10,则k=tan α=±.

3故所求直线方程为y=±(x+4), 31

3√101

√10????-2-2

即x+3y+4=0或x-3y+4=0.

(2)设直线l在x,y轴上的截距均为a. 若a=0,即l过(0,0)及(4,1)两点,

1

∴l的方程为y=4x,即x-4y=0.

若a≠0,则设l的方程为+=1,

∵l过点(4,1),∴??+??=1,∴a=5, ∴l的方程为x+y-5=0.

综上可知,直线l的方程为x-4y=0或x+y-5=0. (3)当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0; 当斜率存在时,设其为k,

则所求直线方程为y-10=k(x-5), 即kx-y+(10-5k)=0. 由点到直线的距离公式,得|10-5??|√??2+1

41

????????

=5,解得k=4. 3

故所求直线方程为3x-4y+25=0.

综上可知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0. 13.C 由直线方程为cos 300°x+sin 300°y=3,

知k=-cos 300°cos(360°-60°)cos(-60°)

=-=-sin 300°sin(360°-60°)sin(-60°)

=

cos 60°sin 60°

=

√33

. 因为直线倾斜角的范围为[0°,180°),所以其倾斜角为30°,故选C.

14.D 由题得f'(x)=ex,f(0)=e0=1,k=f'(0)=e0=1.∴切线方程为y-1=x-0,即x-y+1=0,∴a-b+1=0,∴a-b=-1,∴2a+2-b≥2√2??·2-??=2√2??-??=2√2-1=√2(当且仅当a=-,b=时取等号),故选D. 15.5 易知A(0,0),B(1,3),且PA⊥PB,

1

2

12

∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10,

|????|2+|????|2

∴|PA|·|PB|≤=5 2

(当且仅当|PA|=|PB|时等号成立).

16.x+y-2=0 设直线l的斜率为k,由题意k<0,直线l的方程为y-1=k(x-1),则A1-??,0,B(0,1-k),

所以|MA|2+|MB|2=1-1+??

1

122211

+1+1+(1-1+k)2=2+k2+2≥2+2√??2·2=4,

????

1

当且仅当k2=2,即k=-1时等号成立,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0. 17.C 对

y=x3求导得

??

32

y'=3x2,设切点B(x0,??0),则B点处的切线l的斜率为3??0.

32

∴切线l的方程为y-??0=3??0(x-x0).

令y=0,得A

∵△OAB是以A为顶点的等腰三角形, ∴|OA|=|AB|,即

4∴??0=

2

x0,03

.

2

∴切线l的倾斜角为60°.

故选C.

18.x+y-3=0

如图所示,设∠BAO=θ,0°<θ<90°,

1

.∴切线3

2

x03

??2=√(0)+(??03).

3

2

l的斜率为3??0=√3.

12,|PB|=, sin??cos??

2

∴|PA|·|PB|=

sin??·cos??

|PA|=

=, sin2??

当2θ=90°,即θ=45°时,|PA|·|PB|取最小值, 此时直线的倾斜角为135°,斜率为-1,

4

∴直线的方程为y-1=-1(x-2),

即x+y-3=0.