曾量子力学题库（网用）(1)

测量另一个电子自旋x分量，得到Sx???/2的概率是多少？

34.（8）由两个非全同粒子组成的体系，二粒子自旋均为?/2，不考虑轨道运动，粒子间相互作用可

??As?1?s?2。设初始时刻（t?0）粒子1自旋朝上（s1z?1/2）写作H，粒子2自旋朝下

（s1z??1/2）。求t时刻

（1）粒子1自旋向上的概率； （2）粒子1和2自旋均向上的概率； （3）总自旋为0和1的概率

35.（8）质量为m的一个粒子在边长为a的立方盒子中运动，粒子所受势能V(x,y,z)由下式给出：

??0,x??0,a?;y??0,a?;z??0,a?V(x,y,z)??

?,others??（i）列出定态薛定谔方程，并求系统能量本征值和归一化波函数；

（ii）假设有两个电子在立方盒子中运动，不考虑电子间相互作用，系统基态能是多少？并写

出归一化系统基态波函数（提示：电子自旋为1，是费米子）； 2（iii）假设有两个玻色子在立方盒子中运动，不考虑玻色子间相互作用，系统基态能是多少？

并写出归一化系统基态波函数。

??? 36.（2、4、6、8）已知t?0时，氢原子的波函数为?(r,sz,t?0)???????1?100(r)?2?，其中

??3?211(r)?2??nlm(r)?Rn.(r)Ylm(?,?)满足归一化条件?|?nlm(r)|2d3r?1。试

（1）写出任意t时刻的波函数?(r,sz,t)

????的可能取值和相应的几率以及平均值 ?、自旋S（2）求能量E、轨道角动量L和Lzz2?的平均值S （3）计算t时刻自旋分量Sxx（4）写出t时刻电子处在以原子核为球心，半径为R的球体积内，且Sz?式

37.（6、10）粒子处在无限深球方势阱中（1）求其径向波函数Rnr,0(r)和能量本征值Enr,0；（2）今

加上一微扰V'??r（?为小量），求能量一级修正值（只求第一激发态nr?1的结果）。

?的几率的表达238. （6、10）一维无限深方势阱(0?x?a)中的粒子受到微扰

?'?Acos?x(0?x?a) Ha的作用，其中A为常数。求基态能量的二级近似与波函数的一级近似。

?2d2122??m?x,若再加上一个外场作用39.（3、10）一维谐振子的哈密顿为H0??22mdx2?'?ax(a??1)，使用微扰论计算体系的能量到二级修正，并与严格解比较。 H??H??H?'，在H?表象中，H?和H?'表示为 40.（10）有一两能级体系，哈密顿量为H000?E1? H0???0?0?01??'?b???,H?10??,E1?E2 E2?????的本征值和本征态。 ?'为微扰，b表示微扰程度，试求H H0??1c??0? 41. （10）设Hamilton量的矩阵形式为：H??c3?00c?2???（1）设c<<1，应用微扰论求H本征值到二级近似； （2）求H 的精确本征值；

（3）在怎样条件下，上面二结果一致。

??的矩阵为 ?中，H?与微扰H??H??H??，H 42.（10）设在表象H000?100??011????????c?101? ??E?010? HH00?112??002?????其中E0与2E0分别是基态与激发态的零级近似能量，c是微小量。 (1) 求基态的一级近似能量与零级近似态矢 (2) 激发态的二级近似能量与一级近似态矢。

??1?43.（10）已知系统哈密顿量为H0??0?0?0?100??0a0????0?，H???a0b?。用微扰法求能量至二级修正。

?0b0??3?????00?x,y?a44.（10）设粒子在二维无限深势阱V(x,y)??中运动，设加上微扰

??otherwhere???xy(0?x,y?a)。求基态和第一激发态的一阶能量修正。 HI45.（10）一个取向用角坐标

?和

?确定的转子作受碍转动，用下述哈密顿描述：

??AL?2?B?2cos?2是角动量平方算符。试H2(?)，式中A和B均为常数，且A??B，L用一级微扰论计算系统的p能级(l=1)的分裂，并算出微扰后的零级近似波函数。

46.（3、10）对于一维谐振子，取基态试探波函数形式为e??x，?为参数。用变分法求基态能量，并与严格解进行比较。

47. （3、10）一维无限深势阱加上如图所示的微扰， 则 势函数为

2?V0?x(V0为小量）0?x?aV(x)??a

?x?0或x?a??V0 试用微扰论求基态能量本和波函数至一级近似。

48. （10）氢原子处于基态：沿z方向加一个均匀弱电场?，视电场为微扰。求电场作用后的基态波函

数（一级近似），能级（二级近似），平均电矩和电极化系数（不考虑自旋）。

Ax(A?0)x?0?49.（10）考虑体系H?T?V(x)，且V(x)?{，

?x?02b??x2a. 利用变分法，取试探波函数为?1(x)?()1/2e2b，求基态能量上限；

2b.我们知道，如试探波函数为?2(x)?(1b?)1/22x2b2，则基态能量上限为eb?x2811/3A2h21/3E2?()()。对这两个基态的能量上限，你能接受哪一个？为什么？

4?m??x250.（10）以?数。 已知

?e?为变分函数， 式中?为变分参数， 试用变分法求一维谐振子的基态能量和波函

?0x2nexp??x2dx???1?3? ??（?2n?1)? n?12n?12a51.（10）质量为?的粒子在一维势场V(z)????,z?0中运动，式中G?0。

Gz,z?0? （1）用变分法计算基态能量时，在z?0区域内的试探波函数应取下列波函数中的哪一个？为什

么？

(a)z??z2,（2）算出基态能量。

(b)e??z,2(c)ze??z,(d)sin?z

? [提示：必要时可利用积分公式：ze0?n??zdz?n!] ?n?152.（10）质量为 m 的的粒子在势场 V(x)????,?Cx,2x?0x?0(C?0) 中运动。

(1) 用变分法估算粒子基态能量，试探波函数取?(x)?Axe??x,?为变分参量。 (2) 它是解的上限，还是下限？将它同精确解比较。

（附：积分公式

?0?xne??xdx?n!） n?1a??53.（10）（1）设氢原子处于沿z方向的均匀静磁场B?Bk中，不考虑自旋，在弱磁场下，求n?2????能级的分裂情况；（2）如果沿z方向不仅有静磁场B?Bk，还有均匀静电场E??0k，再用微

扰方法求n?2能级的分裂情况（取到一级近似，必要时可以利用矩阵元

?200|z|210???3a）。

54.（11）设体系的Hamilton量为H???????10???，频率?是实常数。 01?? （1）求体系能量的本征值和本征函数； （2）如果t?0时体系处于

1?1???i??状态，求t?0时体系所处的状态； 2???0???? ?0??（3）如果t?0时体系处于基态，当一个小的与t有关的微扰H'?e?t??在t?0时加上后，求t??时体系跃迁的激发态的几率

55.（11）设|n?(n?1,2,3,?)为一维谐振子的能量本征函数，且已知

?1?n?1nx|n???|n?1??|n?1??，????22?（1） 求?m|x2|n?；

m? ?2?2kt（2） 设该谐振子在t?0时处于基态|0?，并开始受微扰H'?xe的作用。求经过充分长时

间（t??）以后体系跃迁到|2?态的几率

56. （11）中微子振荡实验发现：电子中微子可以转变为缪子中微子。我们用波函数1表示电子中微

子，2表示缪子中微子，用非对角项不为零的2?2矩阵表示哈密顿量，计算表明中微子将在电