2015-2016学年高中数学 2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案 新人教A版必修4

第二章 平面向量 2.2 平面向量的线性运算 2．2.3 向量数乘运算及其几何意义

1．理解向量数乘运算的几何意义． 2．掌握向量数乘运算的运算律． 3．掌握向量共线的条件．

基础梳理 一、向量的数乘运算

1．实数与向量的积：实数λ与向量a的积是一个向量，记作：λa． (1)|λa|＝|λ||a|．

(2)λ>0时λa与a方向相同；λ<0时λa与a方向相反；λ＝0时λa＝0． 2．运算定律．

结合律：λ(μa)＝(λμ)a， 第一分配律：(λ＋μ)a＝λa＋μa， 第二分配律：λ(a＋b)＝λa＋λb．

练习1：a为单位向量，则|3a|＝3，|2a|＝2，|2(3a)|＝6． 练习2：(－3)×4a＝－12a． 思考应用

1．实数与向量可以求积，那么实数与向量能不能进行加法、减法运算呢？

解析：不能．向量是既有大小又有方向的量，而数量只有大小，两者是不相同的量，不能进行加减．

二、向量共线

1

1．向量共线的条件．

(1)对于向量a(a≠0)、b，若有实数λ，使b＝λa，则a与b为共线向量． (2)若a与b共线(a≠0)，则有实数λ，使b＝λa． 2．向量共线定理：向量b与非零向量a共线的条件是 当且仅当有唯一一个实数λ，使b＝λa．

→1→→

练习3：M是线段AB的中点，对于任意一点O，都有OM＝(OA＋OB)．

2思考应用

2．在向量共线定理中，为什么附加上条件a≠0?

解析：当a＝0时，不论实数λ为何值，都有b＝0，而当b≠0，a＝0时，向量a与b共线，此时λ不存在，共线定理不成立．也就是说当a＝0时，不能表示任意的向量b.

自测自评

1

1．若a＝e1－e2，b＝－2e1＋2e2，则a＝－b，b＝－2a.

21

解析：根据向量共线条件得a＝－b，b＝－2a.

2

AC52→→5→→

2．点C在线段AB上，且＝，则AC＝AB，BC＝－AB.

CB277

33．已知|a|＝3，|b|＝5，b与a的方向相反，若a＝λb，则λ＝－．

533

解析：|a|＝|b|，b与a的方向相反，∴a＝－b，

553

∴λ＝－.

5

→→

4．若C是线段AB的中点，则AC＋BC为(D) →→A.AB B.BA C．0 D．0

→→

解析：∵C是线段AB的中点，∴AC＝CB. →→→→→→

∴AC＋BC＝AC－CB＝AC－AC＝0.故选D.

2

基础提升

1

1．将[2(2a＋8b)－4(4a－2b)]化简成最简式为(B)

12A．2a－b B．2b－a C．a－b D．b－a

2．(2015·新课标全国高考Ⅱ卷)设向量a，b不平行，向量λa＋b与a＋2b平行，则实数________．

??λ＝k，

解析：因为向量λa＋b与a＋2b平行，所以λa＋b＝k(a＋2b)，则?所以λ＝

?1＝2k，?

1

. 2

1

答案：

2

3．已知向量是不共线向量e1，e2，给出下列各组向量： 1

①a＝2e1，b＝e1＋e2；②a＝2e1－e2，b＝－e1＋e2；

2③a＝e1＋e2，b＝－2e1－2e2；④a＝e1＋e2，b＝e1－e2. 其中共线的向量组共有(B)

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

→→→→

4．在平行四边形ABCD中，若|AB＋AD|＝|AB－AD|，则必有(C) →→→

A.AD＝0 B.AB＝0或AD＝0

C．ABCD为矩形 D．ABCD为正方形

→→→→→→→→

解析：由于AB＋AD＝AC，AB－AD＝DB，由条件得|AC|＝|DB|，又ABCD是平行四边形，∴ABCD为矩形，故选C.

5．下列等式：①0－a＝－a；②－(－a)＝a；③a＋(－a)＝0；④a＋0＝a；⑤a－b＝a＋(－b)；⑥a＋(－a)＝0.正确的个数是(C)

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

解析：只有⑥错误，应为a＋(－a)＝0.故选C. 巩固提高

→→→→→

6．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC与BD交于O点，则BA－BC－OA＋OD＋DA＝________．

3

→答案：CA

7．设两个非零向量a和b不共线，

→→→

(1)若AB＝a＋b，BC＝2a＋8b ，CD＝3(a－b)，求证A、B、D三点共线； (2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线．

→→→→→→→

(1)证明：∵AB＝a＋b，BD＝BC＋CD＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5AB，∴AB、BD共线． 又∵它们有公共点B，∴A、B、D三点共线． (2)解析：∵ka＋b和a＋kb共线， ∴存在实数λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 则(k－λ)a＝(λk－1)b.由于a与b不共线．

??k－λ＝0，只能有?则k＝±1.

?λk－1＝0，?

→→→

8．证明：向量OA、OB、OC终点A、B、C共线，则存在实数λ、μ，且λ＋μ＝1，使→→→

得OC＝λOA＋μOB，反之也成立．

→→→→→→→

证明：∵向量OA、OB、OC终点A、B、C共线，∴存在实数t，使得AC＝tAB，即OC－OA＝

t(OB－OA)，OC＝(1－t)OA＋tOB.

→→→

令λ＝1－t，μ＝t.则有OC＝λOA＋μOB，且λ＋μ＝1. →→→

反之，若OC＝λOA＋μOB，(*) ∵λ＋μ＝1，

→→→→→

→→→

把λ＝1－μ带入(*)式得OC＝(1－μ)OA＋μOB， →

OC－OA＝μ(OB－OA)，即得AC＝μAB.

→→→

∴向量OA、OB、OC终点A、B、C共线．

→→→

9．设O为△ABC内任一点，且满足OA＋2 OB＋3 OC＝0. (1)若D，E分别是BC，CA的中点，求证：D，E，O共线； (2)求△ABC与△AOC的面积之比．

→→→→→→

(1)证明：如右图，OB＋OC＝2 OD，OA＋OC＝2 OE，

→→→→→

4

→→→→→→→→→∴OA＋2 OB＋3 OC＝(OA＋OC)＋2(OB＋OC)＝2(2OD＋OE)．

→→→→

∴2OD＋OE＝0，∴OD与OE共线，即D，E，O共线． →→

(2)解析：由(1)知2|OD|＝|OE|，

2211S△ABC

∴S△AOC＝2S△COE＝2×S△CDE＝2××S△ABC＝S△ABC，即＝3.

3343S△AOC

1．若向量b与非零向量a共线，则存在唯一实数λ，使b＝λa；若存在实数λ，使b＝λa(a≠0)，则向量a与向量b共线．

2．若存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0，则向量a与b共线；若向量a与b共线，则必存在不全为0的实数λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0.

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