2016-2017-2第4章随机变量的数字特征 - 图文

第三章随机变量的数字特征

第一节数学期望

一、教学要求：

1．理解随机变量的数学期望的概念，并会运用它的基本性质计算具体分布的期望 2．掌握二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布、正态分布的数学期望． 3．会根据随机变量X的概率分布计算其函数g(X)的数学期望E?g(X)?；会根据随机变量(X,Y)的联合概率分布计算其函数g(X,Y)的数学期望E?g(X,Y)?． 二、难点、重点： 随机变量数学期望的计算

三、教学内容：

1、离散型随机变量的数学期望

设X是离散型的随机变量，其概率函数为 如果级数

，则定义X的数学期望（又称均值）为 ?ap绝对收敛（?ap??）

（即：级数?ap的和） E(X)??ap；

iiiiiiiiiiiiP(X?ai)?pi,i?1,2,?,

（1）X?B(1,p)

P(X?i)?pi(1?p)(1?i),i?0,1

E(X)?0?(1?p)?1?p?p （2）X?B(n,p)

iipi?P(X?i)?Cnp(1?p)n?i,i?0,1,2,?n

E(X)??ipi??iCp(1?p)inii?0i?1nnn?i??i?1nn!pi(1?p)n?i

(i?1)!(n?i)!?np?i?1n(n?1)!pi(1?p)n?1?(i?1)（令i'?i?1）

(i?1)!?(n?1)?(i?1)?!i'n?1?np?Ci?0'n?1p(1?p)i'n?1?i'

=np(p?1?p)n?1?np （3）X?P(?)

pi?P(X?i)???ii!?i?0e??,i?0,1,2,?

E(X)??ipi??ii?0?ii!e???e????i?1??i?1(i?1)!?e???e???

（4）（分赌本问题）甲乙两人各有赌本a元，约定谁先胜三局就赢得2a元，假定甲乙二人在每一局中的概率相等。现在已赌三局，结果甲是二胜一负，由于某种原因赌博终止，问如何分2a元的赌本才合理？

如果甲乙两人平均分，对甲是不合理的。著名物理学家和数学家Pascal提出了一个合理的分法：如果赌局继续下去，他们各自的期望所得就是他们应该分得的。

易知，最多需要再赌两局，就能决出胜负。其结果为：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙。

1

设X为甲最终所得，Y为乙最终所得，则X,Y的分布律分别为：

依据期望的定义，甲乙的期望所得分别为：

133311E(X)?0??2a??a,E(Y)?0??2a??a

442442这就是甲乙应该分到的赌本。

2、连续型随机变量的数学期望

设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分（

?????xf(x)dx绝对收敛

?????xf(x)dx??），则定义X的数学期望为

E(X)??xf(x)dx????．

数学期望E(X)完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一分布，也称E(X)是这一分布的数学期望。

（1）X?U(a,b),(a?b)

?1a?b? X?f(x)??b?a?其他?0b111E(X)??xdx??x2ab?ab?a2（2）X?E(?)

ba?a?b 2??e??xx?0 X?f(x)??x?00?E(X)??x??e??xdx???xe??xd(??x)???xd(e??x)

000????????=?xe??x??0??e??xdx??0??1??0e??xd(??x)??1?e??x??0?1?

（3）X?N(?,?)

2E(X)??12???????x1e2???t22?(x??)22?2dx（令t?x????）

1(???t)edt??????2???????tedt??

t223、随机变量函数的数学期望

设X为离散型随机变量，其概率函数

P(X?ai)?pi,i?1,2,?,如果级数

?g(a)p绝对收敛（?iiii

，则X的函数g(X)的数学期望为 g(xi)pi??）

E[g(X)]??g(ai)pii设(X,Y)为二维离散型随机变量，其联合概率函数

2

P(X?ai,Y?bj)?pij,i,j?1,2,?,

如果级数

??g(a,b)pijjiij绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(X,Y)]???g(ai,bj)pijji；

E(X)???aipij;E(Y)???bjpijiiji

设X为连续型随机变量，其概率密度为f(x)，如果广义积分则X的函数g(X)的数学期望为

??

?????g(x)f(x)dx绝对收敛，

．

设(X,Y)为二维连续型随机变量，其联合概率密度为f(x,y)，如果广义积分

E[g(X)]??g(x)f(x)dx????????????g(x,y)f(x,y)dxdy绝对收敛，则(X,Y)的函数g(X,Y)的数学期望为

E[g(x,y)]???????????g(x,y)f(x,y)dxdy；

特别地

E(x)???????????xf(x,y)dxdy,

.

E(Y)???????????yf(x,y)dxdy

例题：

（1）X?U(a,b),(a?b)

?1a?b? X?f(x)??b?a?其他?03

E(X)??bx1ab?adx?1b?a?12x2ba?ba?2 b1112E(X2)??ax2b?adx?b?a?3ba2?ab?b3xa?3

（2）X?E(?) ??e??xX?f(x)??x?0 ?0x?0E(X)????x??e??xdx?????xe??xd(??x)?????000xd(e??x)

=?xe??x????1??10??0e??xdx????0e??xd(??x)??1?e??x??0??

E(X2)????x2????x??2??0edx???0xe??xd(??x)???0x2d(e??x)

=?x2e??x????x????x20??0e??dx2?2?0xedx??2

（3）X?N(?,?2)

??)2E(X)????2?2??x1?(x2??edx（令t?x???）

1??t2?(???t)e?t221???2???dt???2?????te2dt??

(x??)2E(X2)????212?2??xe?2??dx

4