数学必修4-第二章-平面向量知识点

数学必修4第二章 平面向量知识点

2.1 平面向量的实际背景及基本概念 1. 向量：既有大小又有方向的量。

ruuur2. 向量的模：向量的大小即向量的模（长度），如AB,a的模分别记作|AB|和|a|。

uurr注：向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 3. 几类特殊向量

rr(1)零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，0与任意向量平行，

rr?r?零向量a＝0?｜a｜＝0。由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线）的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件。（注意与0的区别）

?(2)单位向量：模为1个单位长度的向量，向量a0为单位向量?|a0|?1。将一个

rarr?rea|a| 向量除以它的模即得到单位向量，如a的单位向量为：

uur??(3)平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量,称为平行向量.记作a∥b。

r规定：0与任何向量平等，

任意一组平行向量都可以移到同一直线上，由于向量可以进行任意的平移(即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的。

r??（4）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量。记作?a。

??关于相反向量有：① 零向量的相反向量仍是零向量， ②?(?a)=a； ③

vvv??a?(?a)?0； ④若a、b是互为相反向量，则

???????a=?b,b=?a,a+b=0。

??（5）相等向量：长度相等且方向相同的向量。记为a?b。相等向量经过平移后总可以重合。

2.2 平面向量的线性运算 1.向量加法

（1）定义：求两个向量和的运算叫做向量的加法

ruuuruuuruuurruuurr?ruuu设AB?a,BC?b，则a+b=AB?BC=AC。

?????规定：0?a?a?0?a；

（2）向量加法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则” ① 用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线。 ② 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和。 注：当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。

向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： uuuruuuruuuruuuruuuruuurAB?BC?CD?L?PQ?QR?AR，但这时必须“首尾相连”。 （3）向量加法的运算律：

rrrrrrrrrr①交换律：a?b?b?a ②结合律：(a?b)?c?a?(a?c)

2.法向量的减

rrrrrrrr（1） 定义：若a?x?b则向量x叫做a与b的差，记为b?a。求两个向量

差的运算，叫做向量的减法。 （2）

向量减法的法则—“三角形法则”与“平行四边形法则”

rr?rr① 三角形法则：当a,b有共同起点时，a?b表示为从减向量b的终

?点指向被减向量a的终点的向量。 ② 平行四边形法则：两个已知向量是要共始点的，差向量是如图所rb A

C rra?b ra

B