材料力学复习总结

由此可得薄板重心的坐标 zC为 zC??zdAAA?SyA

同理有 yC?所以形心坐标 zC?Sz ASz （Ⅰ-2） ASyA或 Sy?A?zC，Sz?A?yC

，yC?由式（Ⅰ-2）得知，若某坐标轴通过形心轴，则图形对该轴的静矩等于零，即 yC?0 ，Sz?0 ；zC?0 ，则 Sy?0 ；反之，若图形对某一轴的静矩等于零，则该轴必然通过图形的形心。静矩与所选坐标轴有关，其值可能为正，负或零。

如一个平面图形是由几个简单平面图形组成，称为组合平面图形。设第 I 块分图形的面积为 Ai ，形心坐标为

yCi,zCi ，则其静矩和形心坐标分别为 Sz??AiyCi，Sy??AizCi （Ⅰ-3）

i?1i?1nnSyC?z?A?Ayii?1nCi?Ai?1n，zC?SyA??Azii?1nnci （Ⅰ-4）

ii?Ai?1§Ⅰ-2 惯性矩和惯性半径

惯性矩：平面图形对某坐标轴的二次矩，如图Ⅰ-4所示。

Iy??z2dA，Iz??y2dA （Ⅰ-5）

AA量纲为长度的四次方，恒为正。相应定义

iy?为图形对 y 轴和对 z 轴的惯性半径。

IyA，iz?Iz （Ⅰ-6） Ann组合图形的惯性矩。设 Iyi,Izi 为分图形的惯性矩，则总图形对同一轴惯性矩为Iy??Iyi，Iz??Izi （Ⅰ-7）

i?1i?1若以?表示微面积dA 到坐标原点O的距离,则定义图形对坐标原点O的极惯性矩

Ip???2dA （Ⅰ-8）因为 ?2?y2?z2

A所以极惯性矩与（轴）惯性矩有关系 Ip?下式 Iyz???yA2?z2dA?Iy?Iz （Ⅰ-9）

?式（Ⅰ-9）表明，图形对任意两个互相垂直轴的（轴）惯性矩之和，等于它对该两轴交点的极惯性矩。

?AyzdA （Ⅰ-10）

定义为图形对一对正交轴 y 、z 轴的惯性积。量纲是长度的四次方。 Iyz 可能为正，为负或为零。若 y ，z 轴中有一根为对称轴则其惯性积为零。 §Ⅰ-3平行移轴公式

?y由于同一平面图形对于相互平行的两对直角坐标轴的惯性矩或惯性积并不相同，如果其中一对轴是图形的形心轴

c,zc 时，如图Ⅰ-7所示，可得到如下平行移轴公式

?

?Iy?IyC?a2A?2?Iz?IzC?bA （Ⅰ-13） ?I?IyCzC?abA?yz简单证明之：

Iy??z2dA???zC?a?dA??zCdA?2a?zCdA?a2?dA

22AAAAA其中

?AzCdA 为图形对形心轴 yC 的静矩，其值应等于零，则得

Iy?IyC?a2A

同理可证（I-13）中的其它两式。

结论：同一平面内对所有相互平行的坐标轴的惯性矩，对形心轴的最小。在使用惯性积移轴公式时应注意 a ,b 的正负号。把斜截面上的总应力p分解成与斜截面垂直的正应力?n和相切的切应力?n（图13.1c）,则其与主应

力的关系为

?n??1l2??2m2??3n2 （13.1）

?n??12l2??22m2??32n2??n2 （13.2）

在以?n为横坐标、?n为纵坐标的坐标系中，由上式所确定的任意斜截面上的正应力?n和切应力?n为由三个主应力所确定的三个圆所围成区域（图13.2中阴影）中的一点。由图13.2显见

????max?13

2

图13.2