二次函数动点问题

（3）m?c?e?a，n?d?f?b．或m?a?c?e，n?b?d?f．

（4）若GS为平行四边形的对角线，由（3）可得P7c)．要使P1在抛物线上， 1(?2c，则有7c?4c2?(5c?3)?(?2c)?c，即c?c?0． ，c2?1．此时P?c1?0（舍去）7)． 1(?2，若SH为平行四边形的对角线，由（3）可得P，2c)，同理可得c?1，此时P2(3，2)． 2(3c2?2c)，同理可得c?1，此时P若GH为平行四边形的对角线，由（3）可得(c，，?2)． 3(1综上所述，当c?1时，抛物线上存在点P，使得以G，S，H，P为顶点的四边形是平行四边形． 符合条件的点有P7)，P2(3，?2)． 2)，P3(1，1(?2，练习3.解：⑴由Rt△AOB≌Rt△CDA得 ???

OD=2+1=3,CD=1 ∴C点坐标为(－3,1), ∵抛物线经过点C,

∴1= (－3)2 a＋(－3)ａ－2，∴a?∴抛物线的解析式为y?1

。 2

121x?x?2. 22⑵在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 以AB边在AB右侧作正方形ABPQ。过P作PE⊥OB于E，QG⊥x轴于G， 可证△PBE≌△AQG≌△BAO，

∴PE＝AG＝BO＝2，BE＝QG＝AO＝1， ∴∴P点坐标为（2,1），Q点坐标为（1,－1）。 由（1）抛物线y?121x?x?2。 22当x＝2时，y＝1，当x＝,1时，y＝－1。 ∴P、Q在抛物线上。

故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ是正方形。 ⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。

延长CA交抛物线于Q，过B作BP∥CA交抛物线于P，连PQ，设直线CA、BP的解析式分别为y=k1x+b1,

y=k2x+b2,

∵A（－1,0），C（－3,1），

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∴CA的解析式y??1111x?，同理BP的解析式为y??x?， 222211?y??x???22解方程组?得Q点坐标为（1,－1），同理得P点坐标为（2,1）。

?y?1x2?1x?2?22?由勾股定理得AQ＝BP＝AB＝5，而∠BAQ＝90°，

∴四边形ABPQ是正方形。故在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P（2,1）、Q（1,－1），使四边形ABPQ

是正方形。

⑵另解：在抛物线（对称轴的右侧）上存在点P、Q，使四边形ABPQ是正方形。 如图，将线段CA沿CA方向平移至AQ，

∵C（－3,1）的对应点是A（－1,0），∴A（－1,0）的对应点是Q（1,－1），再将线段AQ沿AB方向平移

至BP，同理可得P（2,1）

∵∠BAC＝90°，AB＝AC

∴四边形ABPQ是正方形。经验证P（2,1）、Q（1,－1）两点均在抛物线y?⑶结论②

121x?x?2上。 22BFBG?成立， AFAG证明如下：连EF，过F作FM∥BG交AB的延长线于M，则△AMF∽△ABG，

∴

MFBG?。 AFAG26

由⑴知△ABC是等腰直角三角形，

∴∠1＝∠2＝45°。 ∵AF＝AE，

∴∠AEF＝∠1＝45°。

∴∠EAF＝90°，EF是⊙O′的直径。 ∴∠EBF＝90°。 ∵FM∥BG，

∴∠MFB＝∠EBF＝90°，∠M＝∠2＝45°， ∴BF＝MF， ∴

BFAF?BGAG

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