2.2.3向量数乘运算及其几何意义

§2.2.3向量数乘运算及其几何意义

【学习目标】

1. 掌握向量数乘运算，并理解其几何意义；

2. 理解两个向量共线的含义；掌握向量的线性运算性质及其几何意义. 【学习过程】 一、知识回顾

复习： 向量减法的几何意义是什么？

二、自主探究：（预习教材P87—P90）

向量数乘问题的实际背景：在物理中，位移与速度的关系：S=vt ； 力与加速度的关系：F=ma 其中位移、速度，力、加速度都是向量， 时间、质量都是数量。 探究：向量数乘运算与几何意义

???????问题1：已知非零向量a，作出：①a?a?a；②?a??a??a.通过作出图形，同学们能

??????否说明它们的几何意义？

?a

探究: 向量 、 与 在方向与长度上有什么变化？

(1)向量 a的3倍,即 a的方向 , 向量 的长度是 3a的方向与

(2)向量 的方向与 的方向相反, 向量 ? a ) 的长度是 a 的3倍, 3(即 .

3a3(?a)a3a3(?a)a?1、一般地，我们规定___________________是一个向量，这种运算称做向量的数乘,记作?a，它的长度

与方向规定如下：

?（1）|?a|=___________________________________;

????（2）当_________时，?a的方向与a的方向相同；当_______时，?a的方向与a方向相反，特别地，

当 λ

=0 或 a = O 时，?a= 。

???问题2：向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.请同学们解释它们的几何意义.

2、向量数乘运算律，设?,?为实数。

????（1）?(?a)?_______； （2）(???)a?_________； （3）?(a?b)?_________； ??（4）(??)a?________=___________； （5）?(a?b)?______________；

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问题3：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间有什么位置关系？

???3、两个向量共线（平行）的等价条件：如果a(a?0)与b共线，那么_____________。

即

?思考： (1)a为什么要是非零向量，???

若a?0,上述定理成立吗?

二、典型例题 例1、计算：

??7?6a⑴??； ?????⑵4a?b?3a?b?8a；

??????⑶5a?4b?c?23a?2b?c.

b//aa?0?? b??a(2)b可以是0吗？????????

?结论：对于任意的向量 a，b以及任意实数 λ, μ1, μ2 ，恒有

λ(μ1a±μ2b)=λμ1a±λμ2b

????????????????????????????????例2、已知两个两个向量e1和e2不共线，AB?e1?e2，BC?2e1?8e2，CD?3e1?3e2，求 证：A、B、D三点共线.

?????????????????B?a，AD?b，例3、如图，平行四边形ABCD的两条对角线相交于点M，且A你能用a、b表示AM、

???????????????BM、CM、DM吗？

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三、交流展示

??????????1、8(a?c)?7(a?c)?c=___________。 (a?9b?2c)?(b?2c)=________ _。

????????1?1?a???2a?b??a?= ； ?(2a)?8b?(4a?2b)?=______ ___。

??3?2???????????????2、在?ABC中，E、F分别是AB、AC的中点，若AB?a，AC?b，则EF等于（ ）

1??1??1??1?? A.a?b B.a?b C.b?a D.?a?b

2222????????????????????3????3、点C在线段AB上，且AC?AB，则AC?________CB。

5?????????????????4、设e1,e2是两个不共线向量，若b?e1??e2，与a?2e1?e2共线，则实数?的值为 .

四、学习小结

1. 向量数乘的定义；

2. 实数与向量的积满足的运算律； 3. 两向量共线所满足的条件.

五、达标检测（A组必做，B组选做）

A组：1. 下列各式中不表示向量的是（ ）

????1? A.0?a B.a?3b C.3a D.e（x,y?R，且x?y）

x?y??2. 下列向量a、b共线的有（ ）

??????????????????????2??????1??? ①a?2e1,b??e2； ②a?e1?e2,b??2e1?2e2； ③a?4e1?e2,b?e1?e2；

510????????????????? ④a?e1?e2,b?2e1?2e2（e1,e2不共线）

A.②③ B.②③④ C.①③④ D.①②③④

????1????3. ?ABC中，AD?AB，DE//BC，且与边AC相交于点E，?ABC的中线AM与DE相交于点N.

3????????????????????????????????????设AB?a，AC?b，用a、b分别表示向量AE,CB,DE,CE,DN,NA.

??????B组：1、设两非零向量e1,e2不共线，且k(e1?e2)//(e1?ke2)，则实数k的值为

????????????2、若AB?8,AC?5，则BC的取值范围是（ ）

A.?3,8? B.?3,8? C.?3,13? D.?3,13?

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