(晨鸟)2019年浙江省中考数学真题分类汇编专题10图形的性质之解答题(解析版)

∴

，

∵ QB＝3，

∴ NC＝5，

∵ AN＝ CN，

∴ AC＝ 2CN ＝10，

∴ AB＝ AC＝ 10．

【点睛】本题为四边形综合题，涉及到直角三角形中线定理、三角形相似等知识点，这种新定义类题目，通常按照题设顺序逐次求解，较为容易．

14．（ 2019?台州）我们知道，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．对一个各条边都相等的

凸多边形（边数大于 3），可以由若干条对角线相等判定它是正多边形．例如，各条边都相等的凸四边形，若两条对角线相等，则这个四边形是正方形．

（ 1）已知凸五边形 ABCDE 的各条边都相等．

① 如图 1，若 AC＝ AD＝ BE ＝BD＝ CE，求证：五边形

ABCDE 是正五边形；

② 如图 2，若 AC＝ BE＝ CE，请判断五边形

ABCDE 是不是正五边形，并说明理由：

（ 2）判断下列命题的真假． （在括号内填写“真”或“假” ）如图 3，已知凸六边形 ABCDEF 的各条边都相等．

① 若 AC＝CE ＝EA，则六边形 ABCDEF 是正六边形；（

假 ） （ 假 ）

② 若 AD＝BE ＝CF，则六边形 ABCDEF 是正六边形．

【答案】（ 1）① 证明：∵凸五边形 ABCDE 的各条边都相等，

∴ AB＝ BC＝ CD＝ DE＝ EA，

在△ ABC、△ BCD、△ CDE、△ DEA、 EAB 中， ∴△ ABC≌△ BCD≌△ CDE≌△ DEA≌ EAB（ SSS），

，

∴∠ ABC＝∠ BCD＝∠ CDE＝∠ DEA＝∠ EAB，

∴五边形 ABCDE 是正五边形；

② 解：若 AC＝ BE＝ CE，五边形 ABCDE 是正五边形，理由如下：

在△ ABE、△ BCA 和△ DEC 中， ∴△ ，

ABE≌△ BCA≌△ DEC （SSS），

∴∠ BAE＝∠ CBA＝∠ EDC ，∠ AEB＝∠ ABE＝∠ BAC ＝∠ BCA＝∠ DCE ＝∠ DEC ，

在△ ACE 和△ BEC 中，

，

∴△ ACE≌△ BEC（ SSS），

∴∠ ACE＝∠ CEB，∠ CEA＝∠ CAE＝∠ EBC＝∠ ECB，

∵四边形 ABCE 内角和为 360°，

∴∠ ABC+∠ ECB＝180°，

∴ AB∥ CE，

∴∠ ABE＝∠ BEC，∠ BAC＝∠ ACE ，

∴∠ CAE＝∠ CEA＝ 2∠ ABE，

∴∠ BAE＝ 3∠ ABE，

同理：∠ CBA ＝∠ D ＝∠ AED ＝∠ BCD ＝ 3∠ ABE＝∠ BAE，

∴五边形 ABCDE 是正五边形；

（ 2）解： ① 若 AC＝CE＝ EA，如图 3 所示： 则六边形 ABCDEF 是正六边形；假命题；理由如下：∵凸六边形 ABCDEF 的各条边都相等，

∴ AB＝ BC＝ CD＝ DE＝ EF＝ FA，

在△ AEF 、△ CAB 和△ ECD 中，

，

∴△ AEF ≌△ CAB≌△ ECD （SSS），

如果△ AEF 、△ CAB、△ ECD 都为相同的等腰直角三角形，则∠

F＝∠ D＝∠ B＝ 90°，而正六边形的各个内角都为

120°，

∴六边形 ABCDEF 不是正六边形；

故答案为：假；

② 若 AD＝BE ＝CF，则六边形 ABCDEF 是正六边形；假命题；理由如下：

如图 4 所示：连接 AE、 AC、 CE、 BF，

在△ BFE 和△ FBC 中，

，

∴△ BFE ≌△ FBC （SSS），

∴∠ BFE ＝∠ FBC ，

∵ AB＝ AF，

∴∠ AFB ＝∠ ABF ，

∴∠ AFE ＝∠ ABC，

在△ FAE 和△ BCA 中，

，

∴△ FAE≌△ BCA （SAS），

∴ AE＝ CA，

同理： AE＝ CE，

∴ AE＝ CA＝ CE，

由 ① 得：△ AEF 、△ CAB、△ ECD 都为相同的等腰直角三角形，则∠而正六边形的各个内角都为

120°，

∴六边形 ABCDEF 不是正六边形；

故答案为：假．

F ＝∠ D ＝∠ B＝ 90°，

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了正多边形的判定、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明三角形全等是解题的关键．

15．（ 2019?嘉兴）小波在复习时，遇到一个课本上的问题，温故后进行了操作、推理与拓展．

（ 1）温故：如图 1，在△ ABC 中， AD ⊥ BC 于点 D ，正方形 PQMN 的边 QM 在 BC 上，顶点 P， N 分别在 AB， AC 上，若 BC＝ 6，AD ＝4，求正方形 PQMN 的边长．

（ 2）操作：能画出这类正方形吗？小波按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图

2，任

意画△ ABC，在 AB 上任取一点 P'，画正方形 P'Q'M 'N'，使 Q'， M '在 BC 边上， N'在△ ABC 内，连结 BN' 并延长交 AC 于点 N，画 NM⊥ BC 于点 M，NP⊥ NM 交 AB 于点 P，PQ⊥ BC 于点 Q，得到四边形 PPQMN ．小波把线段 BN 称为“波利亚线” ．

（ 3）推理：证明图 2 中的四边形 PQMN 是正方形．

（ 4）拓展：在（ 2）的条件下，在射线 BN 上截取 NE＝NM ，连结 EQ， EM（如图 3）．当 tan∠NBM 时，猜想∠ QEM 的度数，并尝试证明．

请帮助小波解决“温故” 、“推理”、“拓展”中的问题．

【答案】（ 1）解：如图 1 中，