2020年新高考数学二轮复习练习：专题二 第2讲 数列通项与求和

第2讲 数列通项与求和

[做真题]

题型一 an与Sn关系的应用

1．(2018·高考全国卷Ⅰ)记Sn为数列{an}的前n项和．若Sn＝2an＋1，则S6＝________． 解析：法一：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1； 当n＝2时，a1＋a2＝2a2＋1，解得a2＝－2； 当n＝3时，a1＋a2＋a3＝2a3＋1，解得a3＝－4； 当n＝4时，a1＋a2＋a3＋a4＝2a4＋1，解得a4＝－8； 当n＝5时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝2a5＋1，解得a5＝－16； 当n＝6时，a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝2a6＋1，解得a6＝－32； 所以S6＝－1－2－4－8－16－32＝－63.

法二：因为Sn＝2an＋1，所以当n＝1时，a1＝2a1＋1，解得a1＝－1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an＋1－(2an－1＋1)，所以an＝2an－1，所以数列{an}是以－1为首项，2为公比的等

6

－1×（1－2）n－1

比数列，所以an＝－2，所以S6＝＝－63.

1－2

答案：－63

2．(2015·高考全国卷Ⅱ)设Sn是数列{an}的前n项和，且a1＝－1，an＋1＝SnSn＋1，则Sn＝________．

解析：因为 an＋1＝Sn＋1－Sn，an＋1＝SnSn＋1， 所以Sn＋1－Sn＝SnSn＋1.

1111因为 Sn≠0，所以－＝1，即－＝－1.

SnSn＋1Sn＋1Sn

11

又＝－1，所以{}是首项为－1，公差为－1的等差数列． S1Sn11所以＝－1＋(n－1)×(－1)＝－n，所以Sn＝－.

Snn1答案：－

n题型二 数列求和

1．(2017·高考全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝3，S4＝10，则?

k＝1

n

1

＝Sk

__________．

???a1＋2d＝3，?a1＋2d＝3，

解析：设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，依题意，?即?

4a＋6d＝10，?1?2a1＋3d＝5，????a1＝1，

解得?

??d＝1，

n（n＋1）所以Sn＝，

2

1?1－1＋1－1＋…＋1－1?2n

因此? ＝2?223. nn＋1?＝Sk??n＋1

nk＝1

答案：

2n

n＋1

2．(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15. (1)求{an}的通项公式； (2)求Sn，并求Sn的最小值．

解：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15. 由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝2n－9. (2)由(1)得Sn＝n2－8n＝(n－4)2－16.

所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.

3．(2016·高考全国卷Ⅱ)Sn为等差数列{an}的前n项和，且a1＝1，S7＝28.记bn＝[lg an]，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[lg 99]＝1.

(1)求b1，b11，b101；

(2)求数列{bn}的前1 000项和．

解：(1)设{an}的公差为d，据已知有7＋21d＝28，解得d＝1. 所以{an}的通项公式为an＝n.

b1＝[lg 1]＝0，b11＝[lg 11]＝1，b101＝[lg 101]＝2.

??1，10≤n＜100，

(2)因为b＝?

2，100≤n＜1 000，??3，n＝1 000，

n

0，1≤n＜10，

所以数列{bn}的前1 000项和为1×90＋2×900＋3×1＝1 893.

[山东省学习指导意见]

能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系或等比关系，体会等差数列、等比数列与一次函数、指数函数的关系．能利用数列有关知识解决相应的问题．(求通项公式、求和、解实际问题)

Sn，an关系的应用

[典型例题]

(1)已知数列{an}的前n项和为Sn，若3Sn＝2an－3n，则a2 019＝( ) A．－22 019－1 1?

C．??2?

2 019

B．32 019－6 1?D．??3?2 019

7

－ 210－ 3

（n＋1）an

(2)(2019·东北四市联合体模拟(一))已知数列{an}中，a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则

n＋2an

k＝1

? a＝________．

k

n

k

(3)(一题多解)(2019·济南市调研测试)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，则a4＝________．

【解析】 (1)因为a1＝S1，所以3a1＝3S1＝2a1－3?a1＝－3.

当n≥2时，3Sn＝2an－3n，3Sn－1＝2an－1－3(n－1)，所以an＝－2an－1－3，即an＋1＝－2(an－1＋1)，所以数列{an＋1}是以－2为首项，－2为公比的等比数列．

所以an＋1＝(－2)×(－2)n－1＝(－2)n， 则a2 019＝－22 019－1.

n＋1n11(2)由题意可知nan＋1＋2anan＋1＝(n＋1)an，两边同除以anan＋1，得－＝2，又＝，a12an＋1an

nk?n?1111

??所以a是以为首项，2为公差的等差数列，所以? ＝n＋n(n－1)×2＝n2－n.

2ak222?n?

k＝1

(3)法一：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)可得S2＝3S1＋1＝3a1＋1，

即a2＝2a1＋1＝－1.根据Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)①，知Sn＋1＝3Sn＋2n＋1－3②， ②－①可得，an＋1＝3an＋2n(n≥2)．

an＋13an1an31

两边同时除以2n＋1可得n1＝·n＋(n≥2)，令bn＝n，可得bn＋1＝·bn＋(n≥2)．

2222＋222333

所以bn＋1＋1＝(bn＋1)(n≥2)，数列{bn＋1}是以b2＋1＝为首项，为公比的等比数列．

2423?所以bn＋1＝??2?n－2

3

·(n≥2)， 4

1?3?n－1

所以bn＝·－1(n≥2)．*

2?2?1

又b1＝－也满足*式，

23?

所以bn＝??2?

n－1

1an

·－1(n∈N*)，又bn＝n，所以an＝2nbn，即an＝3n－1－2n. 22

所以a4＝33－24＝11.

法二：由Sn＝3Sn－1＋2n－3(n≥2)，a1＝－1，知S2＝3S1＋4－3，所以a2＝－1. S3＝3S2＋8－3，所以a3＝1.S4＝3S3＋16－3，所以a4＝11. 1

【答案】 (1)A (2)n2－n (3)11

2

(1)给出Sn与an的递推关系求an的常用思路：一是利用Sn－Sn－1＝an(n≥2)转化为an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为Sn的递推关系，先求出Sn与n之间的关系，再求an.

(2)形如an＋1＝pan＋q(p≠1，q≠0)，可构造一个新的等比数列．

[对点训练]

1．(2019·武昌区调研考试)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－1，则a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝( )

A．40 C．45

B．44 D．49

解析：选B.法一：因为Sn＝n2－1，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－1－(n－1)2＋1＝