专题04 巧妙构造函数应用导数证明不等式问题(第一篇)2019年高考数学压轴题命题区间探究与突破(原卷版)

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芇葿袂螅薅肈螂一．方法综述

利用导数证明不等式是近几年高考命题的一种热点题型．利用导数证明不等式，关键是要找出

肆肂莃螄袀羂薄与待证不等式紧密联系的函数，然后以导数为工具来研究该函数的单调性、极值、最值(值域)，从而达到证明不等式的目的，这时常常需要构造辅助函数来解决．题目本身特点不同，所构造的函数可有多种形式，解题的繁简程度也因此而不同，这里给出几种常用的构造技巧．

节膄袄蒇膂肁蒆二．解题策略

类型一 “比较法”构造差函数证明不等式

x蚂肄艿莂袃蚆袈芄螇蒁蒁螆莆莁【例1】【2018届广州模拟】已知函数f?x?＝e－ax(e为自然对数的底数，a为常数)的图象在点

(0,1)处的切线斜率为－1.

蕿蚁芃羆膈薁蒄(1)求a的值及函数f?x?的极值； (2)证明：当x＞0时，x＜e. 【指点迷津】

当题目中给出简单的基本初等函数，例如f?x?＝x，g?x?＝ln x，进而证明在某个取值范围内

32x袁肄膅罿螁羂莃薂芅薇羁螃袇膆蒅荿肀莁肇羈羁不等式f?x??g?x?成立时，可以类比作差法，构造函数h?x?＝f?x?－g?x?或??x?＝g?x?－f?x?，进而证明h?x?min?0或??x?max?0即可，在求最值的过程中，可以利用导数为工具．此外，在能够说明

g?x??0?f?x??0?的前提下，也可以类比作商法，构造函数h?x?＝ h?x?min?1???x?max?1?．袇芀膃膇蒆膀莄f(x)f(x)(?(x)=)，进而证明g(x)g(x)【举一反三】【广东省佛山市南海区南海中学2018届考前七校联合体高考冲刺】已知函数，

，讨论函数时，

的单调性；

蒀羅莆芈莀羂蚅(Ⅰ) 设函数（Ⅱ）求证：当

蒂薆聿薀螃螄蚈蚆蚇虿芁羄芆薀类型二 “拆分法”构造两函数证明不等式

.

葿衿肃膄肈蝿芄聿袅莄袀罿袂袆【例2】【山东省青岛市2019届9月期初调研】已知函数(1)若

上存在极值，求实数m的取值范围；

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莂螇莇聿蚄肅羇(2)求证：当【指点迷津】

时，． 羇腿艿膁芅螈腿蚇蒈羃莅芆莈膄当所要证明的不等式由几个基本初等函数通过相乘以及相加的形式组成时，如果对其直接求导，

得到的导函数往往给人一种“扑朔迷离”“不知所措”的感觉．这时可以将原不等式合理拆分为

f?x??g?x?的形式，进而证明f?x?max?g?x?min即可，此时注意配合使用导数工具．在拆分的过程中，

一定要注意合理性的把握，一般以能利用导数进行最值分析为拆分标准．

袂螅薅肈螂螂肇【举一反三】【山东省实验中学2019届高三第一次诊断】已知函数（1）若函数

在

上是减函数，求实数的取值范围； ，是否存在实数，当

（）．

莃螄袀羂薄芇葿袄蒇膂肁蒆肆肂（2）令（为自然对数的底数）时，函数的最小

值是，若存在，求出的值；若不存在，说明理由；

（3）当

时，证明：

．

艿莂袃蚆袈节膄蒁蒁螆莆莁蚂肄类型三 “换元法”构造函数证明不等式

，

，

芃羆膈薁蒄芄螇【例3】【四川省成都石室中学2019届高三上学期入学】已知函数 （1）若

，求

的单调区间； 其中

膅罿螁羂莃蕿蚁薇羁螃袇膆袁肄（2）若【指点迷津】

的两根为，且，证明： .

肀莁肇羈羁薂芅膃膇蒆膀莄蒅荿若两个变元x1，x2之间联系“亲密”，我们可以通过计算、化简，将所证明的不等式整体转化为关

于m(x1，x2)的表达式(其中m(x1，x2)为x1，x2组合成的表达式)，进而使用换元令m(x1，x2)＝t，使所要证明的不等式转化为关于t的表达式，进而用导数法进行证明，因此，换元的本质是消元．

莆芈莀羂蚅袇芀【举一反三】【2018届四川省资阳市4月模拟（三诊）】已知函数F?x??p． ?ln?px?（其中p?0）

x聿薀螃螄蚈蒀羅（1）当

11?p?时，求F?x?零点的个数k的值； 2e111??L??2e． x1x2xk虿芁羄芆薀蒂薆（2）在（1）的条件下，记这些零点分别为xi?i?1,2,L,k?，求证：

肃膄肈蝿芄蚆蚇类型四 “转化法”构造函数证明不等式

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【例4】【内蒙古赤峰二中2019届第二次月考】设函数

有两个极值点

，

莄袀罿袂袆葿衿且

（I）求的取值范围，并讨论（II）证明：【指点迷津】

在关于x1，x2的双变元问题中，若无法将所要证明的不等式整体转化为关于m(x1，x2)的表达式，

的单调性； 莇聿蚄肅羇聿袅艿膁芅螈腿莂螇羃莅芆莈膄羇腿薅肈螂螂肇蚇蒈则考虑将不等式转化为函数的单调性问题进行处理，进而实现消元的目的．

袀羂薄芇葿袂螅【举一反三】【江西师范大学附属中学2018年10月高三月考】设（1）若（2）若

无零点，求实数的取值范围； 有两个相异零点

，求证：

．

，函数

膂肁蒆肆肂莃螄袃蚆袈节膄袄蒇螆莆莁蚂肄艿莂三．强化训练

1.【山西省长治市第二中学2017-2018学年高二下期末】设函数

. 的值，并求

时，

的单调区间； .

有两个零点

（

）.

在点

处的

膈薁蒄芄螇蒁蒁切线方程为

螁羂莃蕿蚁芃羆（1）求

螃袇膆袁肄膅罿（2）证明：当

肇羈羁薂芅薇羁2. 【2018届高三第一次全国大联考】已知函数（1）求实数的取值范围； （2）求证：

.

蒆膀莄蒅荿肀莁莀羂蚅袇芀膃膇螃螄蚈蒀羅莆芈羄芆薀蒂薆聿薀3. 【2018届吉林省长春市高三质量监测（三）】已知函数（1）若

在上是单调递增函数，求的取值范围；

，当

时，若

，其中

2.

肈蝿芄蚆蚇虿芁（2）设，求证：.

罿袂袆葿衿肃膄4．【2018届山东省济南市高三一模】已知函数f?x??alnx?x??2a?1?x ?a?R?有两个不同

的零点.

蚄肅羇聿袅莄袀（1）求a的取值范围； （2）设x1， x2是f?x?的两个零点，证明： x1?x2?2a.

5.【2018届四川省攀枝花市高三第三次（4月）统考】已知函数f?x??1nx?芅螈腿莂螇莇聿芆莈膄羇腿艿膁2?x?1?x?1，

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g?x??x1nx?nx2?1?m,n?R?.

螂螂肇蚇蒈羃莅??(I)若函数f?x?,g?x?在区间上均单调且单调性相反,求实数n的取值范围； （01，）(Ⅱ)若0?a?b,证明: ab?薄芇葿袂螅薅肈a?ba?b ?1na?1nb2.

蒆肆肂莃螄袀羂6.【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数(1)当(2)当

时，若

在

上恒成立，求的取值范围；

.

.

袈节膄袄蒇膂肁莁蚂肄艿莂袃蚆时，证明：

蒄芄螇蒁蒁螆莆7. 【四川省高2019届高三第一次诊断】已知函数（1）求曲线（2）设

在点，证明：

处的切线方程； 莃蕿蚁芃羆膈薁膆袁肄膅罿螁羂. .

羁薂芅薇羁螃袇莄蒅荿肀莁肇羈8.【北京市第八十中学2019届10月月考】已知函数（1）求曲线（2）当

在点时，求证：

处的切线方程；

.

蚅袇芀膃膇蒆膀蚈蒀羅莆芈莀羂薀蒂薆聿薀螃螄9．【河北省衡水中学2019届高三上二调】已知函数(1)若函数(2)若函数

在

上为增函数，求的取值范围；

有两个不同的极值点，记作

，且

.

芄蚆蚇虿芁羄芆，证明：

.

10.【贵州省遵义航天高级中学2018届四模】已知函数

．

羇聿袅莄袀罿袂袆葿衿肃膄肈蝿的两个零点为

（1）求实数m的取值范围；

．

（2）求证：