高等数学教学设计 - 导数

3.1导数概念 单元教学设计 一、教案头 单元标题： 导数概念 授课班级 能力目标 ?能够变速直线运动速度、切线斜率 ?能够抽象出导数概念 ?能够利用导数概念计算导数 ?能够计算高阶导数 ?能够总结基本函数的导数运算公式 导数概念 左右导数 计算导数 单元教学学时 在整体设计中的位置 上课地点 知识目标 4 第15、16次 素质目标 教学 目标 ?深刻思维能力 ?团结合作能力 ?语言表达能力 任务1 理解变速直线运动速度、切线斜率 任务2 抽象导数概念 任务3 简单计算导数、高阶导数 任务4 总结基本函数的导数运算公式 案例1（电流强度模型） 电流强度模型 设在时间[0,t0]这段时间内通过导线横截面的电流能力训练任务 及案例 是Q?Q(t)，利用导数概念分析电流强度 案例2 （细杆的线密度模型） 设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0,x]上的质量是x的函数m=m(x),求杆上点x0处的线密度 教学 材料 高等数学教材 侯风波主编 高等教育出版社 高等数学习题集 张天德主编 山东科技出版社 高等数学应用205例 李心灿主编高等教育出版社 经济数学基础 顾静相主编 高等教育出版社 二、教学设计

步骤 本单元学习目标： 1 （告知） 导数概念，高阶导数 瞬时速度，切线斜率 教学内容 教学教学学生方法 手段 活动 时间 分配 陈述 板书 识记 5分钟 （1）瞬时速度 设一个物体的路程与时间的函数是s=s(t)，试研究在时刻t0时的瞬时速度 v?t0??lims(t0??t)-s(t) ?t?0?t学生教师认真教师画图听讲 50分钟 提示 讲解 分组研讨 （2）切线斜率 函数y=f(x)在x0处的切线斜率 2 （引入 任务1） tan??lim?x?0f(x0??x)-f(x) ?xM1M(x0,f(x0))αx0TNx0+Δx 导数 通过任务2，抽象出任意函数f=f(x)在x0的导数概念 f(x0?x)-s(x)f??x0??lim?x?0?x f(x)-f(x0)3 ?limx?x0（任务2） x-x0f(x0?x)-s(x)?x?0?x右导数： f(x)-f(x0)?lim?x?x0x-x0f???x0??lim?教师启发讲解 师生注意板书 50分钟 研讨 两个定义公式 f(x0?x)-s(x)?x?0?x左导数： f(x)-f(x0)?lim-x?x0x-x0f-??x0??lim-例 求y?x3在x=2处的导数 例 求y?sinx在x0处的导数 例 求y?cosx在x0处的导数 例 设f(x)?x?x?1??x?2??x?3?????x?n?,求f??0? 例 设f(x)??x?a???x?,其中??x?在x?a处连续，求f??a? 例设函数f?x?在x?a处可导，且limh?0h1?，求f??a? f(a?2h)?f(a)4高阶导数 在一阶导数的基础上再求导就是二阶导数 在二阶导数的基础上再求导就是三阶导数 以此类推 一阶导数记作：y?,dy dxd2y二阶导数记作：y??,2 dx3dy（任务3） 三阶导数记作：y???, dx34 教师启发师生板书 40分钟 讲解 研讨 dnyn阶导数记作：y,n dx(n)例 计算y?x的二阶导数 例 计算y?sinx的二阶导数 例 计算y?cosx的二阶导数 3总结基本初等函数的导数运算公式 ? (1) (C)?0 ???1?(x)??x (2) ?? (3) (sinx)?cosx (4) (cosx)??sinx (5) 2?(cotx)??cscx (6) (tanx)??secx (7) 2 (8) (secx)??secxtanx 5 （任务4） (cscx)???cscxcotx xxxx??(a)?alna(e)?e (9) (10) 学生讨论 总结 30分钟 (11) (logax)?? (13) 1xlna (lnx)?? (12) (14) 1x， (arcsinx)?? (15) 11?x2 11?x2 (arccosx)??? (16) 11?x2 11?x2 (arctanx)??(arccotx)???案例应用 案例1 电流强度模型 设在时间[0,t0]这段时间内通5 （案例） 过导线横截面的电流是Q?Q(t)，利用导数概念分析电流强度 案例2 细杆的线密度模型 设一根质量非均匀分布的细杆放在x轴上，在[0,x]上的质量是x的函数m=m(x),求杆上点x0处的线密度 默写基本初等函数导数公式 学生分组自主学习法 学生35分钟 讨论 作业 课后 体会