2019高三一轮总复习文科数学课时跟踪检测：3-5三角恒等变换

[课 时 跟 踪 检 测]

[基 础 达 标]

π

1．(2017届南宁质量检测)已知2<α<π，3sin2α＝2cosα，则cos(α－π)等于( ) 2

A.3 22C.3

6B.4 32D.6 1π

解析：由3sin2α＝2cosα，得sinα＝.因为<α<π，所以cos(α－π)＝－cosα＝

32?1?22

1－?3?2＝3. ??答案：C

1?π?

2．已知sinα＋cosα＝3，则sin2?4－α?＝( )

??1

A.18 8C. 9

17B.18 D.2 9

118

解析：由sinα＋cosα＝3两边平方得1＋sin2α＝9，解得sin2α＝－9，所以8?π?

1－cos?2－2α?1－sin2α1＋9π??17?2?sin?4－α?＝＝＝＝

22218. ??

答案：B

π?π?

3．(2018届东北四市联考)已知sin?6－α?＝cos6＋α，则cos2α＝( )

??A．1 1

C.2

?π??π?

解析：∵sin?6－α?＝cos?6＋α?，

????1331

∴2cosα－2sinα＝2cosα－2sinα，

B．－1 D．0

sinα?1?13?3?

即?－?sinα＝－?－?cosα，∴tanα＝cosα＝－1， ?22??22?cos2α－sin2α1－tan2α∴cos2α＝cos2α－sin2α＝2＝＝0.

sinα＋cos2αtan2α＋1答案：D

3?π1?

4．已知sin2α＝5?2<2α<π?，tan(α－β)＝2，则tan(α＋β)等于( )

??A．－2 2

C．－11

B．－1 2D.11 43

解析：由题意，可得cos2α＝－5，则tan2α＝－4，tan(α＋β)＝tan[2α－(α－β)]＝＝－2. 1＋tan2αtan?α－β?

答案：A

5．在斜三角形ABC中，sinA＝－2cosBcosC，且tanB·tanC＝1－2，则角A的值为( )

πA.4 πC.2

πB.3 3πD.4 tan2α－tan?α－β?

解析：由题意知，sinA＝－2cosBcosC＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC，在等式－2cosBcosC＝sinBcosC＋cosBsinC两边同除以cosBcosC得tanB＋tanC＝－2，又tan(B＋C)＝

答案：A

π?727?

6．已知sin?α－4?＝10，cos2α＝25，则sinα＝( )

??4

A.5 3C.5

4B．－5 3D．－5

tanB＋tanC1－tanBtanC

π

＝－1＝－tanA，即tanA＝1，所以A＝4.

π?727?α－??解析：由sin4?＝10得sinα－cosα＝5.① ?77

由cos2α＝25得cos2α－sin2α＝25， 7

所以(cosα－sinα)(cosα＋sinα)＝25.② 1

由①②可得cosα＋sinα＝－5.③ 3

由①③可得sinα＝5. 答案：C

π??

7．若tanα＝3，则sin?2α＋4?的值为( )

??2

A．－10 52C.10

解析：∵sin2α＝2sinαcosα＝

2B.10 72D.10 2sinαcosα2tanα322

＝＝，cos2α＝cosα－sinα2225sinα＋cosαtanα＋1

cos2α－sin2α1－tan2α4

＝2＝＝－， 225cosα＋sinα1＋tanα

π?2223?4?2?

∴sin?2α＋4?＝2sin2α＋2cos2α＝2×5＋?－5?＝－10. ????答案：A

11

8．已知cos(α＋β)＝6，且cos(α－β)＝3，则tanαtanβ的值为________． 1

解析：因为cos(α＋β)＝，

61

所以cosαcosβ－sinαsinβ＝6.① 1

因为cos(α－β)＝3，

1

所以cosαcosβ＋sinαsinβ＝3.②

1

①＋②得cosαcosβ＝4. 1

②－①得sinαsinβ＝12. sinαsinβ1

所以tanαtanβ＝cosαcosβ＝3. 1

答案：3

9．已知方程x2＋3ax＋3a＋1＝0(a>1)的两根分别为tanα，tanβ，且α，β∈?ππ?

?－2，2?，则α＋β＝________. ??

解析：由已知得tanα＋tanβ＝－3a，tanαtanβ＝3a＋1， ∴tan(α＋β)＝1.

?ππ?

又∵α，β∈?－2，2?，tanα＋tanβ＝－3a<0，tanαtanβ＝3a＋1>0，∴tanα<0，

???π?

tanβ<0，∴a，β∈?－2，0?，

??

3π

∴α＋β∈(－π，0)，∴α＋β＝－.

43π

答案：－4

π?15?π??

10．已知tanα＝－3，cosβ＝5，α∈?2，π?，β∈?0，2?，求tan(α＋β)的值，

????并求出α＋β的值．

π?525?

解：由cosβ＝5，β∈?0，2?，得sinβ＝5，tanβ＝2.

??1

－＋23tanα＋tanβ

∴tan(α＋β)＝＝2＝1. 1－tanαtanβ

1＋3

π?π3π5π?π??

，π0，?，β∈?2?，∴<α＋β<，∴α＋β＝. ∵α∈?2

224????π??

x＋??，x∈R. 11．(2017届广东六校联考)已知函数f(x)＝sin

?12??π?

(1)求f?－4?的值；

??