开放探究型问题

的呈现和呆板的叙述。

3. 开放探究型问题的解法具有发散性，由于答案不唯一，解题时需要运用多种思维方法，通过多角度的观察、想像、分析、综合、类比、归纳、概括等思维方法，同时探求多个解决方案。

问题：先化简(1?1x?4x?4，然后从－2≤x≤2的范围内选取一个合适的整数)?2x?1x?12作为x的值代入求值。 一点通：首先对分式进行化简（把除法转化为乘法），再进行混合运算（把分式转化为最简分式），然后确定x的整数值，把合适的值代入求值，x的值不可使分式的分母为零。 解：原式＝x?2(x?1)(x?1)x?1＝ ?(x?2)2x?1x?211（或：当x＝－2时，原式＝）。 24x满足－2≤x≤2且为整数，若要使分式有意义，x只能取0，－2。 当x＝0时，原式＝?评析：熟练掌握分式运算的法则和运算顺序是解题的关键，并且要注意字母的取值要使原分式有意义。 （答题时间：60分钟） x2?2x?1x?1. 先化简，再任选一个适当的x值代入求值。 2x?1x?12. 如图1，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点。 （1）求抛物线的解析式； （2）设抛物线的顶点为M，直线y＝－2x＋9与y轴交于点C，与直线OM交于点D。现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上。若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围； （3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E，F两点。问在y轴的负半轴上是否存在点P，使△PEF的内心在y轴上。若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。

3. 已知直线y?3x?43与x轴、y轴分别交于A、B两点，∠ABC＝60°，BC与x轴交于点C。

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（1）试确定直线BC的解析式。

（2）若动点P从点A出发沿AC向点C运动（不与A、C重合），同时动点Q从C点出发沿CBA向点A运动（不与C、A重合），动点P的运动速度是每秒1个单位长度，动点Q的运动速度是每秒2个单位长度。设△APQ的面积为S，P点的运动时间为t秒，求S与t的函数关系式，并写出自变量的取值范围。

（3）在（2）的条件下，当△APQ的面积最大时，y轴上有一点M，平面内是否存在一点N，使以A、Q、M、N为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出N点的坐标；若不存在，请说明理由。

4. 平面直角坐标系中，对称轴平行于y轴的抛物线经过原点O（其顶点坐标为3，－Rt△ABC的直角边BC在x轴上，直角顶点C的坐标为（1） 9），21，0），且BC＝5，AC＝3（如图2（1）求出该抛物线的解析式； （2）将Rt△ABC沿x轴向右平移，当点A落在（1）中所求抛物线上时，Rt△ABC停止移动。D（0，4）为y轴上的一点。设点B的横坐标为m，△DAB的面积为S。 ①分别求出点B位于原点左侧、右侧（含原点O）时，S与m之间的函数关系式，并写出相应自变量m的取值范围（可在图1、图2中画图探求）； ②当点B位于原点左侧时，是否存在实数m，使得△DAB为直角三角形？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由。 5. 如图，抛物线y?123x?x?与x轴相交于A、B两点，顶点为P。 22 （1）求点A、B的坐标；

（2）在抛物线上是否存在点E，使△ABP的面积等于△ABE的面积，若存在，求出符合条件的点E的坐标，若不存在，请说明理由；

（3）坐标平面内是否存在点F，使得以A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，直接写出所有符合条件的点F的坐标。

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6. 如图，矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）。

4抛物线y ＝?x2?bx?c经过A、C两点，与AB边交于点D。

9（1）求抛物线的函数表达式； （2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ ＝ CP，连接PQ，设CP ＝ m，△CPQ的面积为S。 ①求S关于m的函数表达式，并求出m为何值时，S取得最大值； 4②当S最大时，在抛物线y ＝?x2?bx?c的对称轴l上若存在点F，使△FDQ为直9角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由。 ．． 第11页 版权所有 不得复制

1. 解：原式＝

?x?1?xx?1x1＝＝， ??x?1x?1x?1x?1x?1x?1????2

当x＝0时，原式＝－1

2. 解：（1）抛物线y＝ax2＋bx＋3经过A（－3，0），B（－1，0）两点 ∴??9a?3b?3?0?a?1解得?

a?b?3?0b?4??∴抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋3 （2）由（1）配方得y＝（x＋2）2－1 ∴抛物线的顶点M（－2，－1） 1∴直线OD的解析式为y＝x 21h）， 21∴平移的抛物线的解析式为y＝（x－h）2＋h。 2于是设平移的抛物线的顶点坐标为（h，-1?1451①当抛物线经过点C时，∵C（0，9），∴h＋h＝9，解得h＝。 242-1-145-1?145≤h＜时，平移的抛物线与射线CD只有一个公共点。 44②当抛物线与直线CD只有一个公共点时， ∴当1?2?y??x?h??h由方程组?2 ??y??2x?91h－9＝0， 21∴△＝（－2h＋2）2－4（h2＋h－9）＝0，解得h＝4。 22此时抛物线y＝（x－4）＋2与射线CD唯一的公共点为（3，3），符合题意。 综上：平移的抛物线与射线CD只有一个公共点时， 得x2＋（－2h＋2）x＋h2＋顶点横坐标的值或取值范围是h＝4或-1-145-1?145≤h＜。 44（3）方法1： 将抛物线平移，当顶点至原点时，其解析式为y＝x2， 设EF的解析式为y＝kx＋3（k≠0）。 假设存在满足题设条件的点P（0，t），

如图，过P作GH∥x轴，分别过E，F作GH的垂线，垂足为G，H。

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