从高考题谈二面角的解法

1.2．借助第三个平面，作“第一垂线”

例3 如图4，正三棱柱ABC—A1B1C1的底边长为a，侧棱长为

2a，若经2过对角线AB1且与对角线BC1平行的平面交上底面一边A1C1于点D．

(1)确定点D的位置，并证明你的结论； (2)求二面角A1—AB1—D的大小． 剖析：由线面平行的性质定理及三角形中位线性质，易知D是A1C1中点．二面角A1—AB1一D的放置属于非常规位置的图形，但是，容易发现，平面A1B1C1过点D且与平面A1AB1垂直，这样的平面相对于二面角的两个平面而言，我们称为第三个平面．过D作DF⊥A1B1，由面面垂直的性质知，DF⊥面A1AB1，即DF为我们要作的“第一垂线”．

略解2 在平面A1B1C1内，作CF⊥A1B1于F，连DC，由三垂线定理可证AB1⊥DG，∠DGF就是二面角A1—AB1一D的平面角，在正△A1B1C1中，因为D是A1C1中点，A1B1＝a，所以B1F?∠DCF=45°．

33a，DF?a，在Rt△DFG，可求得44

1.3.利用特殊图形的定义、性质作“第一垂线”

例4 已知：Rt△ABC的斜边BC在平面?内，AB、AC分别与平面。成30°和45°角，求平面?与△ABC所在平面所成二面角的大小．

剖析：本题中没有相对于二面角的两个平面的第三个平面可以借助，但是，我们注意到AB、AC与平面?所成的角均已给出，只要过A作AO⊥?于O，就可以同时找到AB、AC在平面?内的射影，无疑这样得到的“第一垂线\AO有着非常特殊的位置，有利于二面角大小的计算．

解：作AO⊥?于O，OD⊥BC于D，连OB，AD，OC，由三垂线定理得：AD⊥BC，所以∠ADO是二面角A—BC—O的平面角，令AO＝x，在Rt△AOB中，∠ABO＝30°，所以AB＝2x，在Rt△AOC中，∠ACO＝45°，所以AC?2x，

4

因为∠BAC=90°，所以BC?6x，所以AD?2x?2x6x?23x。 3在Rt△AOD中，sin∠ADO?AO3，所以∠ADO＝60°，所以三角形?AD2ABC与面?成60°或120°的二面角．

3、 垂面法求解二面角

作一与棱垂直的平面，该垂面与二面角两半平面相交，得到交线，交线所成的角为二面角的平面角. 例1：设P是二面角α－l－β内一点，P到面α、β的距离PA、PB分别为8和5，且AB＝7，求这个二面角的大小。 解：作AC⊥l于c，连结BC ∵PA⊥α，l??∴PA⊥l 又AC⊥l，AC∩PA＝A ∴l⊥平面PAC∴l⊥PC ∵PB⊥β，l??∴PB⊥l 又PB∩PC＝P∴l⊥平面PBC ∴平面PAC与平面PBC重合，且l⊥BC ∴∠ACB就是所求的二面角 △PAB中，PA＝8，PB＝5，AB＝7∴∠P＝600 ∴∠ACB＝1200 1. 如图三棱锥P－ABC中，PC⊥平面ABC， 2. PC＝2C D B l 图5 P ? B ?C A P ，D是BC的中点，且△ADC是边A 3长为2的正三角形，求二面角P－AB－C的大小。 解：由已知条件，D是BC的中点 ∴CD＝BD＝2又△ADC是正三角形 ∴AD＝CD＝BD＝2 ∴D是△ABC之外心又在BC上 ∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形， ∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC 5

∴PA⊥AB(三垂线定理)

∴∠PAC即为二面角P－AB－C之平面角， 易求∠PAC＝30°

4、 射影面积法求解二面角（cosq=S射影S原S射S斜）

凡二面角的图形中含有可求原图形面积和该图形在另一个半平面上的射影图形面积的都可利用射影面积公式（cos??）求出二面角的大小。 S B C 例1、 如图,在底面是一直角梯形的四棱锥S-ABCD中， AD∥BC,∠ABC=90°，SA⊥平面ABC，SA=AB=BC=1， 1AD=2 .求面SCD与面SAB所成的角的大小。

A 解法1：可用射影面积法来求， 这里只要求出S△SCD与S△SAB即可， 故所求的二面角θ应满足cos?= =图1 D 1?1?1212?3?22例2．（2008北京理）如图，在三棱锥P?ABC中，

AC?BC?2，?ACB?90?，

A AP?BP?AB，PC?AC． （Ⅰ）求证：PC?AB；

（Ⅱ）求二面角B?AP?C的大小； 解：（Ⅰ）证略

AP?BP，?AC?BC，?△APC≌△BPC．（Ⅱ）

又PC?AC，?PC?BC．

=6 。 3P

B

C

P E A

C B

又?ACB?90?，即AC?BC，且AC?PC?C，

?BC?平面PAC．

取AP中点E．连结BE，CE． ?AB?BP，?BE?AP．

?EC是BE在平面PAC内的射影， ?CE?AP．

∴△ACE是△ABE在平面ACP内的射影，

于是可求得：AB?BP?AP?AC2?CB2?22，BE?AB2?AE2?6，

6

AE?EC?2则S射?S?ACE?S原?S?ABE?11AE?CE?2?2?1， 2211AE?EB?2?6?3 22设二面角B?AP?C的大小为?，则cos??S射S原?13?3 3∴二面角B?AP?C的大小为??arccos3 35、 向量法求解二面角

5．1．利用法向量求二面角的大小的原理:

设 n1,n2分别为平面?,?的法向量，二面角??l??的大小为?，向量

n1,n2的夹角为?，则有?????（图1）或 ???（图2） n2 ?ω n1 ? n1 α θ l β α θ 图1 图2

n2 l β

基本结论 构成二面角的两个平面的法向量的夹角或夹角的补角等于这个二面角的平面角．

5．2．如何求平面的一个法向量:

例题1: 如图3，在正方体ABCD-A1B!C1D1中G、E、F分别 为AA1、AB、BC的中点，求平面GEF的法向量。 略解：以D为原点建立右手空间直角坐标系， 则E(1，G(1,0，

11,0) 、F(，1,0) 、 22DBCz 11111)由此得:GE?(0,,?)FE?(,?0) 2222A2G 设平面的法向量为n?(x,y,z)

7

D E A 图3 B F C y

x