从高考题谈二面角的解法

从高考题谈二面角的解法

摘 要：二面角的大小，是高中数学的重点，同时也是高考的热点，常考常新，其求法各式各样，二面角在高考立体几何的计算中占据着主角地位。而二面角的求解因为方法多样、灵活多变，具有较高的区分度，较能考察学生的空间想象能力、逻辑思维能力及计算能力，更受到命题者的青睐。用传统方法来求解二面角，对学生的空间想象能力、逻辑思维能力要求高；用平面的法向量来求解二面角，对学生的计算能力要求较高，学生往往建系不当、计算出错等原因导致失分。故本人总结出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法、射影法等，和求二面角大小的通法——向量法。

关键词： 立体几何 二面角 垂直

学习立体几何有利于培养学生的空间想象能力、逻辑思维能力和逻辑推理能力。立体几何在每年的高考题中都占有很大的比重。其中二面角是高中立几中中的一项重要内容，是高中数学（教学）的重点，也是历年来高考卷的重点，难点，常考常新，其求法各式各样，是发展空间想象、推理论证、运算求解等基本能力的良好素材。但因其抽象性、综合性和多变性，使得二面角成为教学当中的难点和重点。此题型在高考中属于拉开学生距离的部分，很多学生放弃此题。在近十年的教学中，在求解二面角方面本人总结出一些求二面角大小的模式——定义法、三垂线法、垂面法、射影法等，和求二面角大小的通法——向量法。使二面角问题变得通俗化、模式化和程序化，让学生既容易掌握，又方便操作。

1、 定义法求解二面角

从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角, 这条直线叫做二面角的棱, 这两个半平面叫做二面角的面，在棱上取点，分别在两面内引两条射线与棱垂直，这两条垂线所成的角的大小就是二面角的平面角。

例1：在四棱锥P－ABCD中，ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，

P PA＝AB＝a，求二面角B－PC－D的大小。 解：

PA?AB??PA?AD??PB=PD， AB=AD=a??A D

B C

PB?PD??BC?DC???PBD??PDC过B作BH⊥PC于PC?PC??P H，连结DH使DH⊥PC，

A

H D

B C

故∠BHD为二面角B－PC－D的平面角。 因PB＝2a,BC＝a,PC＝3a,

11aPB·BC＝S?PBC＝PC·BH，则BH＝＝DH 223又BD＝2a，在△BHD中由余弦定理，得：

?6??6?a???a??2a?22233BH?DH?BD?????cos∠BHD＝

2BH?BD662?a?a3322??21??

2又0＜∠BHD＜π，则∠BHD＝

2?2?，二面角B－PC－D的大小是。 33例2：（2012广东高考理18，本小题满分13分)

如图5所示，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点 E在线段PC上，PC⊥平面BDE。

（1）、证明：BD⊥平面PAC；

（2）、若PA=1，AD=2，求二面角B-PC-A的正切值； 解（1）∵ PA?平面ABCD

∴ PA?BD ∵ PC?平面BDE ∴ PC?BD ∴ BD?平面PAC

（2）设AC与BD交点为O，连OE

∵ PC?平面BDE ∴ PC?OE

1

又∵ BO?平面PAC ∴ PC?BO ∴ PC?平面BOE

∴ PC?BE

∴ ?BEO为二面角B?PC?A的平面角 ∵ BD?平面PAC ∴ BD?AC

∴ 四边形ABCD为正方形 ∴ BO?2 在?PAC中，

OEPAOE12 ????OE?OCAC332BO?3 OE∴ tan?BEO?∴ 二面角B?PC?A的平面角的正切值为3

2、 三垂线法求解二面角

求二面角的大小是考试中经常出现的问题，而用三垂线法作二面角的平面角是求二面角大小的一个重要方法，许多同学在解题过程中由于没有有效地利用三垂线定理(或逆定理)作出二面角的平面角，使得解题受阻．

这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义，我们把用三垂线定理(或逆定理)作二面角的平面角的方法称为三垂线法

此法最基本的一个模型为：如图1-1，设锐二面角??l??，过面? 内一点P作PA⊥?于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB ⊥l，则∠PBA为二面角??l??的平面角，故称此法为三垂线法.

l

B A 图1-1 P ? ? 如图1，在二面角?—l一?中，过平面?内一点A作AO⊥平面?，垂足为O，过点O作OB⊥l于B(过A点作AB⊥于B)，连结AB(或OB)，由三垂线定理(或逆定理)知AB⊥l(或OB⊥l)，则∠ABO为二面角。?—l—?的平面角． 作图过程中，作出了两条垂线AO与OB(或AB)，后连结AB两点(或OB两点)，这一过程可简记为“两垂一连”，其中AO为“第一垂线”．“第一垂线”能

2

否顺利找到或恰当作出是用三垂线法作二面角的平面角的关键，在具体解题过程中要注意以下几点：

1.1.善于利用图中已有的“第一垂线”

例1：已知斜三棱柱ABC—A1B1C1中，∠BCA=90°，AC=BC，A1在底面ABC的射影恰为AC的中点M，又知AA1与底面ABC所成的角为60°．

(1)求证：BC⊥平面AA1CC1；

(2)求二面角B一AA1—C的大小． 剖析：注意该题的第(1)问，事实上本题已经暗示了BC就是我们要寻求的“第一垂线”．

略解2 A1A与底面AB成的角为60°，所以∠A1AC＝60°，又M是AC中点，所以△AA1C是正三角形，作CN⊥AA1于N，点N为A1A的中点，连结BN，由BC⊥平面AA1CC1，BN⊥AA1，则∠BNC为二面角B一AA1一C的平面角．设AC＝BC＝a，正△AA1C的边长为a，所以CN?23BCa23，即∠BNC?arctan. ??3NCa3323a，在Rt△BNC中，tan∠2BNC=

例2：如图3，在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC＝90°，SA

1⊥面ABCD，SA=AB=BC＝1，AD＝

2(1)求四棱锥S—ABCD的体积；

(2)求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值．

剖析：由SA⊥面ABCD及∠ABC=90°，不难发现，BC即为“第一垂线”，但是，本题要作二面角的平面角，还需首先作出二面角的棱．

略解2 延长BA、CD相交于点E，连结SE，则SE是所求二面角的棱，因为AD∥BC，BC=2AD，所以EA=AB=SA，所以SE⊥SB，因为SA⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交线，又BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，故SB是CS在面SEB上的射影，所以CS⊥SE，所以∠BSC是所求二面角的平面角，因为

SB?SA2?AB2?2，BC=1，BC⊥SB，因为tan∠BSC=?2． 23

BC2?，即所求二SB2面角的正切值为