对高等数学的精辟解释 - 图文

毕达哥拉斯说，如果宇宙停止让他测量每个原子的状态，他就能语言今后的一切。他犯了三个错误，一个错误是测量的过程中，测量者和测量工具本身的影响无法测量，就像没有什么测量工具可可以测量自己一样，这个测量不完整；第二个错误是，如果时间停止了，运动也就停止了，现象和特性也就停止了----光线停止了传播什么都看不见了，测量本身无法进行。第三个错误是，哪怕是再短的时间里面，都包含了无穷的信息，想想全宇宙有多少原子，所以要用有限的规律来表达的话，这个测量时间必须很短----以至于无穷小的时间可能都嫌长了。所以时空，物质，信息这三个制约因素决定了完整的测量是不可能的，完整的规律性认识也不会有任何可能。一切规律都是短视的偏执的猜测而已。

芝诺不是唯心主义者，是不可知论的祖先，反证一下毕氏的理论，我们看到，没有绝对真理，未来不可预测，一切规律都是未知，量子理学的不可测理论，露出了它的微笑。 [奇异点的故事1]

阿基里斯在练习举重，遇到乌龟。

乌龟问：50公斤重的沙袋你能举起来吗？ 阿：像我这么强壮的人当然没问题啦。 乌：500公斤的你能举起来吗？

阿：我不是擎天柱啊，500公斤的不行。 乌：100公斤的呢？ 阿：十有八九能举起来 乌：200公斤的呢？

阿：这得看我的状态了，也许心情好的时候能举起来，50%的概率吧。 乌：210公斤的呢？ 阿：嗯，可能40%概率 乌：250公斤的呢? 阿：1%的概率

乌：260公斤的呢?

阿：0.01%的概率，呵呵，你给我增加重量，我能举起来的的概率就逐渐减少，趋近于0了。 乌：那究竟什么时候这个趋近于0的概率会变成0，就像500公斤的概率是绝对值0那样? 阿：(无语)... ...

阿基里斯遇到了一个奇异点问题：他知道存在一个奇异点，连接=0和>0但是非常接近于0这两个概念。但是这个点究竟在哪里，根本无法证明：因为任何证明都是荒谬的。但是阿基里斯明明的感觉这个点是存在的，但就是说不出来，只能安慰自己。\存在一个这样的点，收敛到它的极限等于被研究的对象本身\。这句话是不可证明的，但是又明显的成立。所以，标量和矢量的方法实效了，阿基里斯只能求助于集合论和形式语言：存在量词可以表述，一定有这样的一个点。但是究竟这个点在哪里，我不用关心。

看看数学分析，关于极限的问题，各种存在性定理，中值定理，收敛的问题，不都是阿基里斯举的那个沙袋0点么。如果一个关于数的概念，例如x*x=2，x是多少，答案本身不能用数来表示，但是又是唯一确切的答案，我们就发明一个形式的符号(根号)，来弥补数字本身表达能力的缺陷。数是不完整的，不完备的，所谓的\概念\在很多情况下连自身都无法表述。

[奇异点的故事2]

同样是喜欢研究问题，爱叫直。一次和一个西安籍的朋友出去下馆子，他点菜，羊肉泡馍+羊蝎子。要知道对于一个南方人来说，第一次吃这个不亚于受刑----我看着他吃的津津有味，他看着我吃的满脸愁容，于是一场对话开始了:

\这个东西你觉得味道怎么样?\

\味道还可以\，处于礼貌，不能打击自己的朋友，\就是还不太习惯\\你就直接说难吃不就行了吗\

\哈哈，你为什么觉得好吃呢\，我反问。 \我从小就觉得好吃啊\

\那我怎么没觉得那么好吃呢?\，我继续质疑。 \可能你心里有畏惧感\

\如果你也是第一次吃，你能保证它好吃么?\

\嗯，这个也难说，也许你多吃几次就觉得好吃了?\

\那么，你说这个羊肉泡馍好吃，并不是因为它本身好吃了，而是仅仅是你习惯了它的味道\\也许是吧，也许习惯就是一种美\

\那么也就是说，如果我们习惯一种东西，我们就能接受它，然后就觉得这个东西很好----就像如果从小我们觉得胖就是美，那么胖妞就会有很多人追\

\似乎也有道理。不过我更觉得一个好的东西，美的东西，应该是一种我们所期盼的东西。比如说你想要甜味，你吃到了甜味，你就说好吃\

\一个男人想象抱着一个美女，既然要抱的稳，那么美女的腰就不能粗，所以现实中美女标准有个细腰\\嗯，似乎是这样，也就是说不是因为美女有细腰我们就觉得细腰就是美，而是我们打心里盼望细腰这种东西，然后去套，去打分，然后判断谁是不是美女\

\这么说来，判断的标准不是来自外界，而是只是来自我们的内心\

\就像数学里面的点线面一样，到现实里面去抓一个过来看看? 其实只是我们心里的概念而已\

\美女还有什么标准吗?\

\想象你喜欢的东西: 光滑的感觉，清馨的口气，柔软的材质，那么美女的标准必定就是皓齿红唇，冰肌肤玉骨，这个和你买一块玉时的标准是一样的，美就是内心的盼望，不是客观的标准\\好了，还是回到吃饭问题上面来。你为什么觉得这个好吃或者不好吃\

\好吃是因为这个味道是我在吃之前就盼望到了的，我知道我将得到什么味道，吃的过程也是如我所愿；而对于没有吃过的东西，它的味道远离我们的期盼，自然会引起我们的反感\\也就是说，所谓的美感，就是我们自己的愿望被认同和被实现而已\

\不错，就像听音乐一样，为什么卡农那么好听? 因为我听到前面几个音符的时候，我心里已经大概知道后面几个音符是什么了。如果我不能预测后面的音符，那么几乎没有疑问我听到的是高斯白噪声\\嗯，美就是自我的实现，概念也是自我的实现，甚至科学，也是自我的实现\\就像柏拉图说的，知识也是来自于冥想\

\至少我觉得无法驳倒\

\虚数单位i存在吗，怎么证明?\

\只存在于我们的心理，甚至实数1也是只存在于我们的心理，无法证明\

真理似乎是一种思想的和谐，就像卡农一样，不是层次的高低，而是自我的一种缠绕。那些数学的概念，复数，分析，极限，无穷，展开，逼近，正交，对偶，集合，空间，群，推演，与其说是反映了自然之美和宇宙之美，与其说是数学本身的美感，不如说是来自我们内心的一种美的意识和愿望，已经对\简单和美\的主管盼望。美不来自客体世界，美只来自我们的内心，我们按照这种愿望来构建真理和揭示宇宙。而那个客体的世界，似乎只是一对概率变化的和随机过程链接着的无意义，只是因为我们睁开了眼睛，意义便产生了。

漫谈高数(七) 正交和相关的物理意义

什么是正交，相关，消元变换----[引用和转载请标明本文CU blog出处]

先说到底什么是正交？这是一个令人头疼的事情。x,y平面上恒纵坐标夹角90度，我们称这两个轴正交----其实这个回答和\身上没有毛的，两个腿走路的，我们称这是人\是同一类解释，根本就没有正面回答，如何对正交下定义。

事情是这样的，对于2维平面上面的一个点，我们用坐标表示一个点，也就是一个向量，向量的数组形式是(x,y)，复数形式是(x+yi)(这个表示是唯一的。3维空间的情况类似，(x,y,z)和x+iy+jz)。x+yi在x轴的投影是x，和y无关；在y轴的投影是x，与x无关。所以x/y轴构成互相无关的一组投影矢量，我们就说x轴和y轴正交。正交投影向量组成一个正交矩阵[x轴;y轴]，分号代表换行。但是如果我们在x/y平面再画一跟轴出来，例如x,y轴之间夹角45度的一条线z，那么点(x,y)如果写成(x,y,z)的形式就不止一种了。(1,1)可以表示为(0.5,0.5,0.5*根号2分之一)，或者(0.3,0.3,0.7*根号2分之一)，这样的投影结果不止一种，所以[x轴,y轴,z轴]这个投影矩阵对于2维平面是有冗余的，应该去掉其中之一使得这个投影的形式唯一确定。

好了，综上所述，正交的定义是：一组基础向量a1,a2,...an，它们之间的关系是，某个向量v在各个ax上面的投影分解，表达式唯一。或者表述为，a1-an当中的任意向量，在其他向量上面的投影都是0。我们称a1-an之间的关系为互相正交。然后，这n个互相正交的向量，共同构成了一个n维的空间。在这个空间里面，任何其他的向量都可以分解成n个正交投影的矢量和。特别的，N维空间可以用n个正交向量表示，这种n个正交向量本身，可以有无数种形式，只要他们之间保持正交就可以了。x/y平面的正交向量集合可以是[x轴,y轴]，也可以是x/y轴绕着原点，分别旋转一个角度以后的两个轴(当然保持90夹角不变)。

消元有什么物理意义吗，做个具体的分析。一个2x2的矩阵A，是一个方程组Ax=b的系数矩阵。那么这2个方程表示了2维平面上的两条直线。那么我应用消元法：方程组(x+y=2,x+2y=3)第2个行向量减去第一个行向量，得到新的方程组(x+y=2,y=1)，这个方程组和原方程组通解，不同的是x+2y=3绕着交点(方程的解)旋转到了y=1。所以，求解方程组的过程，就是寻找同解方程的过程。消元法是\合法合理\的求解方程组的过程。那么求行列式的过程呢，消元是否影响最后结果？只需证明一个通用变量的情况就可以了，其他的递推就行。 说了物理意义以及思想来源。没有凭空创造出来的数学概念，高数所以高等，是因为能解决一些经典数学很难解决的问题，并且用一种一致和优雅的办法对多种不同的问题都有效果。

再说说线性代数里面的一些纯粹数学上的特性。

-> 行列式是若干个乘积的加和，那么每个分式都有一个符号，由(x坐标的逆序+y坐标的逆序)决定。如果这个加和是偶数，那么分式取正号，否则取负号。例如2345....n1的逆序是多少呢? 无论那种方法重排达到正序的过程，中间次数都是相差2x，所以不影响符号。这里我们考虑把最后的'1'用冒泡的方式上升到第一位，所以逆序=n-1。

-> 一个数m乘以一个方阵，相当于方阵的每个元素e都成了m*e。那么行列式分式的每一项都乘以了m^n，所以|m*A|=m^n|A|。例题：设A是m*m，B是n*n，C是个分块矩阵，C=[0,A;B,0]，那么C的行列式是多少? 考虑逆序的情况，A的m个列，每个列经过n次移位以后，C'=[A,0;0,B]，移位次数=m*n，所以|C|=(-1)^(m*n)|C|=(-1)^(m*n)*|A|*|B|。

-> 如果矩阵的某一行乘以m，那么|A'|=m*|A|。例题：3阶矩阵A和B，A=[a,2x,3y]，B=[b,x,y],|A|=18,|B|=2，求|A-B|=? 解：|A-B|=|[a-b,x,2y]|=2*|[a-b,x,y]|=2*|[a,x,y]|-2*|[|b,x,y]|=(1/3)*|a,2x,3y|-2|B|=2

-> 上面用到了一个很重要的行列式对于向量分解的特性，|[a-b,xxxx]|=|a,xxxx|-|b,xxxx|。|A|-|B|=|[a1-b1,a2-b2...an-bn]|这个可以通过代数余子式的特性证明。再举个例子，A是一个方阵 |x1+1,x1+2,...x1+n|

|x1+1,x1+2,...x1+n| |....,....,.......|

|x1+1,x1+2,...x1+n|,那么A的行列式是多少? 当n大于2时，第一列+第三列=第2列*2，线性相关了，所以行列式=0。n=2时,容易算出|A|=x1-x2。

实际当中没有所谓\连续\的东西，量子也是一份一份的传播的。那么y=f(x)是什么呢？无数个x点对应的y点的集合。不考虑不同x之间间距，或者认为间隔无穷小，那么y=f(x)就可以写成一个向量的形式(y1,y2,y3,y4...yn)，其中的下标是x的离散取值。在离散的情况下，x只是下标序列，本身失去了物理意义。

所以，真实的世界没有严格的傅立叶变换，只有DFT,FFT,Z变换序列等等存在(计算机当中也是如此)。那么，高等数学中函数的计算(连续)实际上，就是线性代数里面的线性(离散)变换。这里数学的两个分支被量子理学统一起来了。

考虑y=f(x)(周期为T)的傅立叶级数展开形式----它相当于，在一个T内f(x)是无穷维向量 (y1,y2,y3,...,yn...)，f(x)的傅立叶级数展开式就是f(x)在无穷维正交基(e^jnw)上面有投影，这个正交基是从低频到高频的一些列三角函数组合。每一个投影的系数是一个长度。那么e^jnw组成的正交基就是的任何f(x)的特征向量，不同的是，不同f(x)对应不同的特征值向量。一个N维的向量空间，N个正交矢量不是定死的，而可以是任意的向量值组合，只要保持互相两两正交就可以了。例如我想构造3维的正交基，我随手写下 (1,0,1)，那么(0,1,2)，(0,0,1)就可以是剩下的两个向量。为什么？一般的说，向量e1,e2,e3是正交基，那么 e1+e2,e2+e3,e1+e3这三个向量也可以构成正交基。

那么如果一条绳子上有个驻波sin(t)在传播，那么绳子向量(s1,...sn)(n为无穷大)，可以投影到一个特征向量函数sin(t)上面。如果 f(x)=sin(t)+sin(2t)呢？显然，两个特征函数，依次类推，我们竟然得到傅立叶级数展开----也就是因为三角级数本身可以作为投影的基准，可以分解任何函数。所以三角函数就是特征向量函数，频率分析的值就是特征值。说得远一点，任何数学分析最后都可以用频谱分析来代替。这也就是\信号与系统\，\数字信号处理\，\通信原理\，\概率和随机过程\这些课程，怎么看起来都是在玩频率游戏和功率谱游戏的原因----学完以后经常会感觉自己什么都没有学会。因为在物理层，信息的\意义\并不存在，只有传输和设计的电子/数学特性有意义。通信协议都是高层次的东西，和\通信原理\无关。在底层只有物理意义，没有逻辑意义。

漫谈高数(八) 二次型和解析几何

----------二次型到底干了什么------------ 已知: 在圆球x^2+y^2+z^2=1上面有点(x,y,z) 求f(x,y,z)=xy-yz-xz的极值。 解:

f(x,y,z)=t(T)*A*t,t=(x,y,z)(T),A= |0, 1/2, 1/2|

|1/2, 0 -1/2|

|1/2,-1/2, 0|,约束条件x^2+y^2+z^2=1,也就是t(T)*t=1,t(T)表示t的转置矩阵

把f变成标准型，P(T)*A*P=D,D=diag(1/2,1/2,-1),P=(就是求解特征向量和特征矩阵的过程) |1/sqr2, 1/sqr6, 1/sqr3| |1/sqr2,-1/sqr6,-1/sqr3|

|0, 2/sqr6,-1/sqr3|,sqr代表根号运算，P是个正交矩阵，满足P(T)*P=E 所以f=t(T)*A*t=t(T)*PDP(T)*t,令P(T)*t=t',则f=t'(T)*D*t'... (1) 约束条件变成了t(T)*t=(Pt')(T)*P*t'=t'(T)*P(T)*P*t'=t'(T)t'=E...(2) 所以根据上面两个式子有了变换

f=0.5x'^2+0.5y'^2-z'^2，约束条件x'^2+y'^2+z'^2=1, f=0.5-1.5z'^2,而由约束条件得，z'的取值范围(-1,1) 所以f的范围是(-1,1/2)

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看出来了什么吗? 2次型的标准型就是一种坐标变换的对角化, 通过一个正交变换，正交变换是保持向量的长度（范数）不变的，也保持两个向量的夹角不变，有点像刚体。这实质上是再做一个旋转，将二次型化到主轴上。有一个定理（schur定理）也与这个问题相关。这个内容很复杂的，因为二次型十分重要。在上面的那个例子里面，单位球旋转以后还是单位球，所以约束条件没有改变。坐标变换把约束条件投影到了3个轴上面。初等的坐标系变换技巧，在2次型的强大威力面前显得多么的苍白。如果我用拉格朗日数乘法求解了，则过程很繁杂

例：已知向量x=(x1,x2,x3),模的平方|x|^2=2，求f()=(x1+x2)^2+(x2-x3)^2+(x1+x3)^2的最大值。那么:

xT*x=x1^2+x2^2+x3^2=2, x1,x2,x3在半径=根号2的圆上面