计算机中信息的表示及其运算

第二章 计算机中信息的表示及其运算

信息和数字在计算机中如何进行表示、如何进行运算是计算机的一个基本问题，在讲解计算机组成技术之前，需要先了解一下信息在计算机中如何表示。

2.1 进位计数制

一、 进位计数制：

在我们的日常生活中最常用的计数方式是十进制，但在计算机中最常用的计数方式是二进制，这是由于二进制便于用物理元件实现，比如电压的高低，晶体管的导通与截止，磁性的顺向与逆向，电灯的亮与灭。

权：一个数中每个数码的位置规定了该数码所具有的数值，称为权； 基值：数制中数码的个数称为基值，位数的权是基值的幂。 基值为r的数N可以表示为：

N?(dn?1dn?2?d1d0d?1?d?m)r

或 N?dn?1rn?1?dn?2rn?2???d1r?d0r?d?1r10?1???d?mr?m?i??m?drin?1i

举例

十进制：123?1?10?2?10?3?10 二进制：1011?1?2?0?2?1?2?1?2

3210210为了区分各种数制，通常在数的末尾加一个字母表示：

十进制：D(Decimal)，二进制B(Binary)，八进制：O(Octal)，十六进制：H(Hexadecimal) 举例

二进制：1011B，八进制：56O(56Q), 十进制：123D, 十六进制：1FAH 二、 不同计数制之间的转换：

1、 其它进制换成十进制：

1) 按“权”转换法：举例

10101.01B?1?24?1?22?1?20?1?2?2?21.25D 365.3O?3?82?6?81?5?80?3?8?1?245.375D 25A.8H?2?162?5?161?10?160?8?16?1?602.5D

2) 基值反复相乘、相除法：举例

a) 整数部分反复相乘法：举例 b) 小数部分反复相除法：举例

2、 十进制换成其它进制：

1) 整数部分“除基取余法”：举例

163311620161011D?BH4D?4H1D?1H

331D = 14BH

2) 小数部分“乘基取整法”：举例

0.5625D = 0.1001B,

23.8125D = 10111.1101B

原则：小数点在最上边。

3、 二进制、八进制和十六进制之间的转换：

八进制相当于是三位的二进制，十六进制相当于是四位的二进制。 举例

237O = 010 011 111B = 9FH

A2FH = 1010 0010 1111B = 5057O

12D.7A4H = 0001 0010 1101.0111 1010 0100B = 0455.3644O

2.2 机器内数据及符号的表示方法

计算机中数据的最基本表示方式是二进制表示，用二值器件的两个稳定状态来表示“0”和“1”。

一、机器数：数连同其符号在机器中的表示加以数值化。

特点：

1) 字长有限； 2) 符号数值化；

3) 小数点按约定方式标出。

二、整数的表示

1、 不带符号的整数：

数的表示范围：

4位：0000B – 1111B，0H – FH，0D – 15D；

8位：00000000B – 11111111B，00H – FFH， 0D – 255D； 16位：0000H – FFFFH， 0D – 65535D；

n位数，0D -- (2?1)D

n举例：用8位二进制表示100：

100D = 64H = 01100100B

2、 带符号的整数：带符号的整数一种最简单的表示方法是由最高为表示数的正负，“0”表示

正，“1”表示负。此时表示的最大数比无符号时小一半。 4位：-7D – +7D； 8位：-127D – +127D；

16位：-32767D – +32767D；

举例：用8位二进制表示100和-100：

100D = 64H = 01100100B -100D = 11000100B

三、小数的表示

1、 定点表示：定点表示方法只能表示两种数

1) 纯小数：默认小数点在符号位之后，此时所有数字均为小数。

举例： - 0.65234375D = –0.1010111B表示为11010111B

2) 纯整数：默认小数点在最低位之后，此时所有数字均为整数。

举例： -87D = -57H = –1010111B表示为11010111B

2、 浮点表示：任何一个数N都可以用两个带符号的整数表示：

N??S?2?J

S—称为尾数；S前的正负号称为尾符； J—称为阶数。J前的正负号称为阶符。

?2?00010= - 0.00101011010 举例：可以用16位的浮点数表示?0.101011010

尾数用9位表示，阶值用5位表示，阶符和尾符各1位。

15 14 10 9 8 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 阶符 阶值 尾符 尾数 ?0.0000000000101011010??0.101011010?2?1010

15 14 10 9 8 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 0 阶符 阶值 尾符 尾数 尾数位数的多少表示数的精度，阶码位数的多少表示机器能够表示数的范围。4位阶码表示的范围是2?15~215，5位阶码表示的范围是2?31~231

PC机中常用的浮点表示是IEEE浮点数标准，分为两种：浮点数和双精度数，浮点数用4个字节32位表示，双精度数用8个字节64位表示。

S 偏移的阶码 尾码的有效位

31 30 23 22 0

S 偏移的阶码 尾码的有效位

63 62 52 51 0

S为符号位，“0”为正，“1”位负，阶码进行偏移，浮点加上7FH，双精度加上3FFH。尾数部分规格化，变成1.ff?ffff的形式，是最高为总是1，在表示的时候省略整数位1。

举例：178.125的浮点表示

01?2178.125D = 10110010.001B = ?1.01100100?111B

阶码为：+111B，偏移阶码为：+111B+7FH = 7H+7Fh = 86H = 10000110B

符号 偏移阶码 尾数的有效位 补零

0 10000110 0110010001 0000000000000 010000110 01100100010000000000000B = 43322000H

“溢出”：如果阶码超出了表示数的范围时称为溢出，当阶码超出机器所能表示的最小数时称为“下溢出”，当成0处理；超出机器能够表示的最大数时，称为“上溢出”，机器停止运行，进入一个出错处理程序进行处理。

举例：下溢出：1101000

上溢出：1

0四、整数的原码、补码和反码表示

1、 原码：

前面介绍的有符号的整数的表示方法就是原码表示法，数学可以定义为： 机器字长为n位，x为整数：

?x,0?x?2n?1[x]原??n?1 n?12?x,2?x?0?x为纯小数：

0?x?1?x, [x]原???1?x,?1?x?0

举例

原码数的表示范围：正数：0 ~ 127，00H ~ 7FH 负数：-127 ~ -0，FFH ~ 80H 原码表示法的缺点：

1) 正负数不能够直接进行加法运算，给运算器的设计和实现带来困难；

8位加法：1001000B + (-1001000B)

2) 存在正0和负0：00000000B和10000000B 2、 补码：

原码表示虽然比较简单和直观，但是计算机进行加、减运算时比较麻烦，需要首先判断两个数的正负，然后再进行相应的计算，计算结果也需要判断正负，相应的电路比较复杂，因此在计算机中常用的数字表示方法是补码表示。

补码的计算非常简单：

1） 正数的补码是它的本身；

2） 负数的补码为各个位取反加一。 举例

两个补码表示的数进行计算时，可以不管其正负，直接进行加减： 举例: 5+(-10)

[5]补?00000101B，[?10]补?11110110B，